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探索型创造力是探索已知事物的外部边界，在保持规则约束的同时扩展其可能的极限。巴赫的音乐创作在巴洛克时期是登峰造极的，他的复调作品通过多旋律、不同调性的应用探索音乐的世界。巴赫的前奏曲和赋格曲在调性、和声对位技巧的运用等方面涉及了所有的可能性，突破了巴洛克音乐创作的藩篱，为以莫扎特和贝多芬为代表的、由单一旋律支配的主调音乐为主流的古典主义奠定了坚实的基础。雷诺阿（Renoir）和毕沙罗（Pissarro）的画作，重构了我们具象化的自然及周围的世界。克劳德·莫奈（Claude Monet）彻底打破了古典主义审美（高完成度）和印象审美之间的界限——他喜欢极多层次的堆叠，画作色彩饱和，纯度极高。莫奈使用厚涂法为细小的区块着色，一遍又一遍地绘制《睡莲》[1] ，直到色块融入一种新的抽象思维形式——运用纯色的、感性的笔法来分解光与色的区块，消除了古典主义画风的阴影和死板的轮廓。
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数学是探索型创造力的狂欢，“有限单群分类”是它的力作之一。从对称性的简单定义（4个基本性质）开始，数学家用了150年的时间，列出了所有可能的有限单群，并最终发现“大魔群”——其元素数量超过地球上所有原子的总数，是最大的散在单群。数学创造力在挑战极限的同时，又必须遵循游戏规则。就像一名闯入秘境的探险家，仍然不能完全摆脱地球的束缚。
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博登认为，人类97%的创造行为属于探索型创造行为。计算机的运算速度远胜人类，所以用“穷举”或“暴力破解”的方法求取一组模式或规则的极限也是它最擅长的。但其结果均在情理之中，并无意料之外的惊喜，不能算真正意义上的创造。
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第二种创造力是组合型创造力。将两种完全不同的结构或理念结合起来是艺术家惯用的创作手法，某领域特定的规则会为其他领域构建出新的框架。组合，也是数学领域里一个非常强大的创新工具。庞加莱（Poincaré）提出的关于探寻宇宙形状的猜想，最终也是运用不同领域的工具（微分几何学、热力学）来证明的。格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）的创造性工作，让我们意识到液体在表面上的流动方式能够对可能存在的表面进行分类（他创造性地运用微分几何学的知识，解决了庞加莱猜想）。
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我的研究就是将数论中分析素数的方法运用于探索可能的对称性分类。数字与几何对称性乍看起来毫无联系，但如果用对称元代替素数，再运用这种探索素数之谜的“语言”进行分析，就可以获得关于对称性理论令人惊讶的新发现。
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这种“组合”也极大地促进了艺术的创新。菲利普·格拉斯[2] （Philip Glass）在与拉维·香卡[3] （Ravi Shankar）的合作中获得了灵感，在作品中融入了多种不同风格的音乐元素，最终形成了他独具一格的创作风格：“简约音乐”。扎哈·哈迪德在她所钟爱的俄国画家卡西米尔·马列维奇（Kasimir Malevich）的启发下，形成了独特的“曲线美”建筑设计风格，甚至烹饪界久负盛名的大厨也常常在美食的创新中融合世界各地不同的烹饪风格。
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一些有趣的迹象表明，组合型创造力也可能完美适合人工智能世界。比如，蓝调音乐与布列兹（Boulez）的奇特组合可能会打开声音新世界的大门，当然，也可能会生成一种不和谐甚至刺耳的噪声。这就需要程序员找出某种有趣的方式、方法来融合两者了。
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博登归纳的第三种创造力更加神秘和难以捉摸，被称为变革型创造力。这种创造力是完全改变游戏规则的创新。每种艺术形式都有这种创造力的体现，比如毕加索的立体主义绘画、勋伯格[4] （Schoenberg）的无调性音乐、乔伊斯·卡罗尔·奥茨（Joyce Carol Oates）的现代主义小说，等等。这类似于水突然从液态转变为气态的物理学相变。就像歌德描述他创作《少年维特之烦恼》的那两年时光时所说的，他脑海中突然闪现出一个画面（某种刺激激发的偶然事件）：那一刻，维特的计划落空了；仿佛有子弹从四面八方而来，汇聚成团，就像瓶中的“过冷水”，受到轻微的震动即刻成冰。
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在多数情况下，变革型创造力需要彻底打破游戏规则，或者抛开前人已做的努力。很多规则乍看起来似乎已经很难突破。比如，任何数的平方都是正数，所有分子都是长线型结构而不是链结构，音乐的创作必须要建立在和声音阶的结构中，脸的两侧都长着眼睛。但激发变革型创造力的“元规则”就是打破常规，去掉约束，看看到底会出现什么。艺术这种创造性行为就是通过打破已有规则或者引入新规则，最终得到了一个全新的、有价值的作品。
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“–1的平方根”的引入，是16世纪中叶数学界一个很典型的变革型创新。笛卡尔将其称为虚数（虚暗含不存在的意思），这个称谓沿用至今，可许多大数学家都不承认虚数的存在。但事实证明，虚数与已有的数学理论并不矛盾。如果给计算机预设了负数不存在平方根的规则，那它就不可能建立–1平方根的概念。真正的创造性行为有时需要打破常规，创造一个新的现实世界。这能否通过一个复杂的算法来实现呢？
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浪漫主义音乐的出现在许多方面都打破了巴洛克风格、古典主义音乐创作的常规。像舒伯特（Schubert）这样的新秀没有沿用古典主义作曲家推崇的不同主调之间对位与平衡的技巧，而是刻意选择了出人意料的方式进行调式的运用。舒曼（Schumann）没有采用海顿（Haydn）或莫扎特一般四平八稳的和弦进行创作。肖邦（Chopin）在他不同寻常的重音段落和扭曲的节奏里创作出密集的半音跑动，在节奏上让人们大吃一惊。从中世纪到巴洛克风格，到古典主义，再到浪漫主义；从印象派到表现主义，再到……音乐时代的更迭，是打破原有常规的过程：后来者都要参考前者才能展现它的创造性。毋庸置疑，历史背景在我们定义新事物时起着重要的作用。创造力不是绝对的，而是相对的。我们在我们所在的文化和参照系内具有创造性。
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计算机的出现能否启动“相变”，激发创造力，将我们带入全新的音乐或数学世界呢？这可能很有挑战性。算法根据数据间的交互关系自主学习，难道就不会产生更多相同的事物吗？
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正如毕加索所说：“理智是创造力最大的敌人。”从表面上看，这或许有悖于机器文明。但是，通过编程创建一个“元规则”，指导机器改变路线，最终产生“非理性”的行为，这是机器学习非常擅长的。
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[1] 莫奈的《睡莲》系列，1897～1926年共画了181幅。——译者注
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[2] 美国作曲家。他的创作融合了摇滚乐、非洲与印度音乐、西方古典音乐的元素，作品经常重复简短的旋律和节奏模式，同时加以缓慢渐进的变奏，被称为“简约音乐”。——译
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[3] 印度著名演奏家、作曲家，在把印度音乐推向西方世界的过程中起到先驱的作用。——译
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[4] 20世纪初奥地利表现主义作曲家，新维也纳乐派的核心人物。表现主义音乐反对印象主义注重描绘客观事物的外在，而注重表现人的内在真实，以抽象、夸张、扭曲、怪诞的手法，用刺激、不和谐的音响来写人们心中的孤寂、恐惧、绝望甚或疯狂。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 创造力教得会吗
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许多艺术家喜欢夸大其词，将他们获得创作灵感的过程说得神乎其神。在古希腊，诗人被认为是缪斯女神的附身，是缪斯将灵感注入诗人的心灵，使诗人达到一种几近疯狂的状态。柏拉图也曾说过：“诗人是神圣的，只有当他受到神的启发而失去理智时，才能创作。没有神之大能的指引，就没有艺术。”著名的印度数学家拉马努金（Ramanujan）将他的伟大发现归功于其所信奉的印度教的娜玛卡尔女神，认为娜玛卡尔女神在睡梦中的指引使他获得了灵感。创造力是一种“疯狂”吗？或者说它真的是神的恩赐吗？
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卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，我心目中的数学英雄之一）最不善于表述促使他产生创造性思维的灵感来源。高斯于1801年[1] 发表了其一生中最伟大的著作《算术研究》（Disquisitiones arithmeticae）——被誉为现代数论的开山之作。当人们想要通过阅读这本书来找寻他独特见解的来源时，他们备感无力。由于全书包含七部分内容，所以该书被大家风趣地称为“加了七道封印的巨著”。没有人真正知道高斯的“魔力”是如何产生的，他就像魔术师从帽子里变出一只接一只的兔子一样。受到质疑时他反驳道：“房子建成后，建筑师们也不会把脚手架丢到工地上。”像拉马努金一样，高斯把自己的成功部分归功于“上帝的恩典”。他说道：“这条线将我所知道的和使我成功的因素联系了起来，但我很难说清楚它到底是什么，也弄不明白它的本质是什么。”
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大师们可能无法阐明他们的想法来自何处，但这并不意味着他们没有遵循规则。艺术是构成潜意识思维过程的无数个“逻辑门”的意识表达。当然，高斯的想法也可以通过一条逻辑线索得到解释：也许他确实不具备清楚表述自己创造思维过程的能力，也许他只是想保持神秘以维护自己创造性天才的形象。柯勒律治（Coleridge）曾表示服用鸦片酊后的睡梦联翩，是诗歌《忽必烈汗》的创作之源。可惜的是，这个梦境被一个来自波洛克的人的突然造访而打断了。[2] 当然，这是一个很好的故事。但这一说法也掩盖了其创作过程中的所有前期准备——长期以来孜孜不倦的努力。即便是我自己，对创造过程的描述也只关注灵感的闪现，而不是多年的辛勤努力。
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人们习惯于把富有创造力的天才传奇化。坦白地说，孤独的艺术家闭门造车是一个神话。在绝大多数情况下，创造是日积月累的过程，而非一步登天。英国音乐家布莱恩·伊诺（Brian Eno）创造了“场天才”（scenius）这个术语，矛头直指“天才”（genius）。他认为群体所构成的“场”（scene）能够激发创意，帮助创造者走向成功。美国作家乔伊斯·卡罗尔·奥茨对此表示赞同：“创造性工作就像科学工作一样，应被视为一种集体的努力——一种个体发出多种声音的尝试，一种综合、探索和分析的尝试。”
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怎样才能激发创造力？编程能激发机器的创造力吗？有没有什么办法或规则可以让我们变得更加富有创造力？换句话说，创造力是一种可以后天培养的技能吗？有人会说，教授知识或编写程序都只是为了使人或机器学会模仿并按照规则做事，这与创造大相径庭。然而，我们身边有许多相反的例子：有创造力的个体通过不断地学习，最终改进了他们的技能。通过行为的研究和模仿，我们最终能成为有创造力的个体吗？
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