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每个新学期伊始，我都会问我的学生这样的问题。数学专业的博士生必须创建一个新的数学结构才能获得学位，即他们必须做出前人未做出的事。我的职责就是教他们如何做到这一点。即使答案已了然于胸，解决问题仍需要个人的创造力。
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当然，他们已然受过一定程度的训练，这些训练是进入未知世界的绝对的先决条件。通过学习他人如何实现突破，可以为自己的创造力找到一个适合的环境来扎根、发芽。但这不能保证创造力的种子就一定能萌发。有些人能在某个领域拥有极佳的创造力，而在别的领域却不行。我不可能从大街上随意选一个人带走，然后教他成为一个富有创造力的数学家。也许经过十年的训练他可以做到这一点，但并非每个大脑都能拥有数学的创造力。究竟是什么让一个人成为国际象棋冠军，而另一个人却成为诺贝尔文学奖得主，这一点很是令人费解。
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博登认识到，创造力不仅仅是如何成为莎士比亚或爱因斯坦。她定义了“心理创造力”和“历史创造力”，并明确了它们之间的区别与联系。自我创造力的实现结果对个体来说可能是全新的，但纵观历史其实已算是“明日黄花”，这就是心理创造力的概念。通过个人创造力的反复实践，最终创造出一些史无前例的、有价值的东西，这就是历史创造力的体现。虽然极其罕见，但它对心理创造力起到很好的激发和鼓励作用。
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遵循博登提出的三种创造力策略是我激发学生创造力的秘诀。“探索”是最显而易见的途径。首先要了解我们是如何走到今天这一步的，然后试着进一步突破这个界限。这需要对已有的知识进行深入了解。在深入探究的过程中，可能会发现一些以前未被发现的事物。创造行为是一个循序渐进的过程，“大爆炸”这种状况很少发生。就像凡·高（Van Gogh）所说的：“伟大的成就不是靠一时冲动就能实现的，它是一系列小事的日积月累。”
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博登的第二种策略——“组合”，是激发新想法的有力武器。我经常鼓励学生参加研讨会，阅读那些似乎与他们所研究的问题无关的论文。来自数学不同领域的研究策略可能与他们所研究的问题产生共鸣，从而激发出新的想法。当今，科学界一些最伟大的创造都发生于不同学科的交叉领域。越能突破自己的圈子，分享自己的想法和问题，就越有可能获得更多的创造力。这就是“最容易摘到的果子”。
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表面上看，“变革”是一种很难驾驭的创造力激发策略，但我们的目标是通过去掉一些已有的限制来对现有的知识体系或架构进行测试和分析。如果改变一些已被普遍接受的学科结构的基本规则，试试看会发生什么？这种方式是极具危险性的，因为撼动系统的基石很可能会导致整个系统的崩塌。但是，这让我想到培养创造力所需的另一个最重要的因素——“接受失败”。
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除非你做好了失败的准备，否则就请你不要去冒那些会让你突破自我、创造新事物的风险。教育系统和商业环境两个领域非常痛恨失败，这对创造力的激发有害无利。对我的学生来说，庆祝失败与庆祝成功同等重要。当然，失败不会被写进博士论文，但我们可以从中学到很多。与学生见面时，我经常重复地说贝克特（Beckett）的那句至理名言：“失败，再次失败，却是以更好的方式失败。”
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这些策略可以编写进计算机代码吗？在过去，自上而下的编码方式意味着代码的输出结果几乎不会出现创造行为。程序员们从未对其算法产生的结果感到惊讶，因为一切都是意料之中的事情，没有试验或者失败的可能性。但最近这一切都改变了：因为一种可以“从失败中吸取经验教训”的代码出现了，它前所未有的举动震惊了它的创造者，这说明它具有不可估量的价值。该算法赢得了一场此前大多数人认为机器无法精通和掌握的比赛，因为这是一场需要创造力的“游戏”。
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该代码的突破性，引发了我作为数学家的生存危机。
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[1] 原文年份有误，翻译时进行了更正。——译者注
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[2] 柯勒律治因身体欠佳避居乡间，一日他正在批阅萨缪尔·珀切斯的《珀切斯朝圣记》，读到书中关于忽必烈上都的文字时，身体忽感疼痛，便遵医嘱服食少量鸦片酊，很快就睡意昏沉，坠入梦乡。他在梦中见到了忽必烈的夏宫，并创作了长达两三百行的诗。醒后柯勒律治神思恍惚，但梦中的意向和所写的诗句仍历历在目，于是他奋笔疾书。可就在这时，一个来自波洛克的人因事来访，他不得不被对方耽搁两个多小时。待返回自己的房间后，他又惊又愧地发现，尽管自己对灵视所得还有一个模糊朦胧的印象，可除了八九十行散落的诗句，其余的诗句已在脑海中悉数消失了。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 第3章 向人类宣战
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保罗·克利（Paul Klee）
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我们在持续重构世界秩序，直觉始终被尊崇。
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人们经常拿数学与国际象棋做比较，认为两者之间存在着某种联系。尽管1997年计算机“深蓝”（Deep Blue）击败了顶尖国际象棋手，但机器取代数学研究机构还言之尚早。下国际象棋与数学的形式化证明颇有相似之处，但学者认为中国围棋的思维方式更能够体现数学家思考的创造性和直觉力。
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我在大学本科期间访问剑桥大学数学系时首次接触了中国围棋。当时，我正在考虑在攻读博士学位期间，是否能与完成有限单群分类（对称结构的元素周期表）的科研团队合作。当我和该项目的两位创始人约翰·康威（John Conway）、西蒙·诺顿（Simon Norton）高谈阔论、展望数学的未来发展时，邻桌的学生们正在玩一种我没见过的棋盘游戏，清脆的落子声不时将我的思路打断。
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我忍不住好奇，问康威：“他们在干什么？”他告诉我：“他们在下中国围棋，这是一种古已有之的益智游戏。围棋的规则非常简单，是一种相互争夺地盘的游戏，对弈双方按黑白交替的顺序将棋子落在棋盘格线的交叉点上，想方设法用自己的棋子围困住对方的棋子，直到将其吃掉。比赛的胜负主要以吃掉对方棋子数量的多少来评定。围棋最精妙的地方就在于，当你围吃对手棋子时必须避免自身不被围吃。”
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围棋很像数学，可以在相当简单的规则下形成精妙绝伦、错综复杂的推理。某一天，因缘际会，这两位数学家边喝咖啡边观看围棋比赛，突然地灵光一现，康威在棋局演变的启发下创立了新的数字系统“超现实数”。
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我一直着迷于各类游戏，每次外出旅行时都喜欢学习当地流行的游戏并将其带回家。所以，从剑桥回到牛津后，我就去玩具店买了一副围棋，想要研究一下学生们沉迷于它的原因。和牛津的同学下了一段时间的围棋后，我逐渐了解到它的妙趣所在。随着棋盘上的棋子越来越多，棋局变得越来越复杂，以至于很难找到一种一眼看去就了然于胸的制胜策略。国际象棋与围棋相比，则是随着棋子一个个被吃掉，棋局变得越来越简单。
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据美国围棋协会（American Go Association）估计，围棋的可能走法数量是一个大约有300位的数字。而计算机科学家克劳德·香农（Claude Shannon）估计的国际象棋走法数量约为120位（称为香农数）。这两个数字都非常庞大，它们直观反映了两种棋类游戏所有可能的走法。
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我在幼年时期经常与人下国际象棋，很喜欢推演棋步。这种思维训练逐渐激发了我的数学潜质。国际象棋的行棋步骤以一种可控、有序的方式逐级建立分支，最终形成一个包含各种可能性的树状结构，计算机甚至人类都可以根据逻辑规则逐级分析不同分支的蕴含关系。相较之下，围棋就不是一种易于推算下一步行棋对策的游戏了，我们很难建立围棋行棋可能性的树状图。围棋棋手推演下一步落子策略的过程似乎更依赖于自身的直觉判断。
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人类的大脑可以敏锐地捕捉到视觉图像所呈现出的结构和模式，所以围棋棋手可以通过观察棋子布局来推断棋势，然后得出下一步的应对策略。但是，计算机实现视觉处理却是几十年来一直困扰工程师们的重大技术难题之一。
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人类大脑的视觉结构处理能力作为一种基本的生存技能，经过数百万年的进化已经变得高度发达。任何动物的生存能力在一定程度上都取决于它在形态万千的自然界中对不同结构图像的识别能力：原本平静的丛林之中激起的一丝混乱，极有可能预示着另一种动物的潜入。这类敏感信息备受动物们的关注，因为它关系到自己会成为猎物还是猎食者，这就是大自然的生存法则。人类的大脑非常擅长识别模式并预测它们的发展方向，同时做出适当的反应。这是人类的宝贵财富，此外，它还关系到我们对音乐和其他艺术的鉴赏能力。
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