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古巴比伦人意识到，他们可以利用他们的数学用表来便捷快速地算出A×B的答案。首先计算出A+B的值，然后查表得到（A+B）2 的值，再减去（A–B）2 的值，最后把得数除以4，就可以得到A×B的答案。这作为非常早期的算法，简直太让人兴奋了。这种算法将两个数字之间的相乘运算简化为相加运算，只要数字的大小不超过他们“泥板数学用表”的范围，使用它就可以很简便地得到答案。
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虽然古巴比伦人以代数的方法来思考运用数字，但是他们并没有记录下为什么这种方法或算法总是能给出正确的答案，也就是说他们并没有将成果理论化，只是在运用而已。理论总是出现在实践之后。直到公元9世纪，巴格达智慧馆的波斯学者才发明了代数语言，上述方程才有可能被写下来，这时时间已经过去了几千年。智慧馆的图书馆长和天文台长，数学家、天文学家、“代数之父”花拉子密创立了代数这门学科，尽管最早使用代数的是古巴比伦人。
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数字与数字之间的数学关系被更进一步有效地利用和加强，使得计算的速度得到大幅提升。这种数学上的进步对于商业和建筑业的发展有巨大的推动作用。从发现问题到解决问题，这个过程看似注重实用性，但如果仔细思考，实际上它更倾向于从实践走向理论，更像是古代数字的使用者对于数学理论的研究，而非体力劳动作者的所思所想。例如，有这样一个问题：某农民有一块面积为60个单位的田地，这块地的一边比另一边长7个单位，那么最短的边的长度是多少？
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问题是我们不知道边的长度，怎么知道面积？对我来说，这更像一个填词游戏：出题人会对这个词进行相当复杂的描述，解题人需要正确补全信息才能解出这道题。对于上题，那条较短的边的长度我们设为X，那么较长的边的长度即为X+7，整块田地的面积为60，也就意味着两个边长的乘积为60。我们可以得到这样一个方程式：
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X×（X+7）=60
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或X2 +7X–60=0
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像这样的一元二次的方程，学校里的学生必须要学习如何解。当然，你可以心中暗自不满：“古巴比伦人为什么要发明这东西？”但是，我们应要感谢他们发明了解开这个方程的方法。
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对我的专业来说，这是一个重要的转折点。为何会有人想到这些问题并去思考怎样解决？在日常生活中并不会出现这样的问题，我们为什么还要求学生学习如何解这样的题？可能这个农民之前已经计算过面积并把它写下来了，但后来他忘记了边长到底有多长，但是为什么他会知道长边比短边长7个单位，而又不知道短边有多长呢？这一切都太刻意、太做作了，这从来就不是一个真正的实际问题。所以，我得出结论：这道数学题的出现仅仅是为了好玩！
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我们的大脑非常享受解决问题找到答案时的快感，这种快感是多巴胺或肾上腺素带给我们的。可以这样说，生物学和化学在推动着数学的发展。现在我们知道，就算没有数学题让我们解决，只要打上一针，我们也可以感受到这样的快感。计算机不是生物体，它无法产生多巴胺和肾上腺素，所以它也无法体验这种快感。那么，它还会为了好玩这样的动机去解决数学问题吗？
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诚然，我们可以围绕善于数学运算的人在进化上更具优势这个命题而争论。事实上，这也是我们为何仍坚持在学校教学生如何解一元二次方程的最佳理由。解决这样的数学题，需要严密的逻辑思维、对抽象的分析能力等，这些能力有机地结合起来才最终促成了解得答案这样的结果。这些能力投射在生活中就是解决实际问题的能力。
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也许，解决一个数学难题带给我们生理上的快感是区分人类创造力和机器创造力的关键。计算机在构造上与大脑相似，我们或许可以创建一个由数字神经元组成的抽象网络，通过控制神经元之间的连接关系来模拟大脑的工作机制。但是，在这个系统中没有多巴胺和肾上腺素，计算机无法体会生物化学带来的生理上的快感。缺失了这种快感，计算机会缺乏创造性思维的动机和动力吗？
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古巴比伦人的数学，是对特定的事例进行运算。他们发现的方法是用来解决某些特定的问题，他们只是发现了这样运算是正确的，但没有去解释为什么这些方法总是有效。直到几千年以后，数学才发展出证明这一概念。
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[1] 中国人用画“正”字来计数“5”。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 证明的起源
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这种数学证明游戏的起源可以追溯到古希腊人，他们发现运用逻辑论证可以获得关于数字和几何颠扑不破的真理。证明是数学的本质特征，是数学家赌上自己的名誉在寻找的“圣杯”：要想赢得百万美元的奖金，你必须至少证明出“千禧年大奖难题”中的一个；要想赢得菲尔兹奖[1] ，你必须能拿出一个让数学家同行印象深刻的证明。欧几里得的《几何原本》成了后世证明的范式，也为证明制定了规则。
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欧几里得的巨大历史功绩不仅在于建立了一种几何学，更在于首创了一种科研方法。这方法所授益于后人的，甚至超过了几何学本身。欧几里得是第一个将亚里士多德用三段论形式表述的演绎法用于构建实际知识体系的人。欧几里得的几何学是一个严密的演绎体系，它从为数不多的公理出发，推导出众多的定理，再用这些定理去解决实际问题。比起欧几里得几何学中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大。现在，再一次以国际象棋为例，来解释数学证明的运行方式：国际象棋的棋子在开局时的摆放位置相当于数学证明中的公理。公理是大家公认的、接受的、显而易见的关于数学和几何的事实。欧几里得的证明就是从这些公理开始。欧几里得本人对几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑的严密性，譬如：任意一点到另外任意一点可以画直线；如果A=B，B=C，那么A=C；以任意点为圆心，任意长度为半径均可以画圆；A+B=B+A。
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现在我们知道了如何摆放棋子，接下来我们该学习如何下棋了。棋子如何移动受到某些规则的限制，即这些规则决定了棋子的移动，而逻辑推理规则也允许我们根据迄今所知的事实来写下公理和真理。命题演算分离规则（modus ponens）是一种推演规则，指在命题演算和谓词演算形式的公理系统中广泛使用的推演规则，此规则的符号表示为A→B，即从A可推演出B。此规则的逻辑意义是，如果一个蕴含式及其前件均为逻辑真的，则它的后件也是逻辑真的。分离规则保持了永真性，即如果A和A→B是永真的，则B也是永真的，反之亦然。此规则的补充规则规定，A→B为真时，若B为假，则A亦为假。
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现在，让我们推理一下2的平方根无法用分数来表示。
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分数是一个整数和另一个整数的不等于整数的比，其表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。分子在上，分母在下。无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两个整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。因为2的平方根是一个无理数，而分数属于有理数，所以2的平方根无法写成分数。
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对我来说，一个游戏的结构是否良好且令人满意，在于它的规则是否易于理解和实现，同时，在规则范围内该游戏能提供给人极其丰富和多样化的操作空间。“井字棋”很容易理解和上手，但它很快就会让你觉得乏味，因为它可以拓展的可能性太有限了。在国际象棋和围棋中，就不会出现这样的问题。
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玩国际象棋或围棋等游戏与玩数学证明游戏之间的一个重要区别是，数学家不必每次都把棋子归回原位：你可以从之前的任何一个时刻开始，以它为基础继续。在某种程度上，前辈数学家已经建立的和扩展出的公理大大扩展了你可以开始研究的范围，同时也为你提供了大量的可使用的招数。
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惊为天人的是，我们赋予了符号和文字以意义：在纸上一划，这就是直线；用X来表示一个计数或测量某物的数字。那么，计算机怎样知道我们在表达什么呢？最美妙的在于我们在尝试探知数字和几何是如何运行的，我们试图从宏观角度去象征性地观察整个“游戏”。事实上，如果公理为真，我们赋予任何符号任何意义，都将引发一场“游戏”（推理与证明），推理与证明会帮我们找出答案。这意味着，计算机可以在不需要真正了解符号含义的情况下进行推理与证明。19世纪数学家戴维·希尔伯特[2] （David Hilbert）这样说道：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面。”当然，他的意思不是说几何学研究桌子、椅子、啤酒杯，而是在几何学中，点、线、面的直观意义要被抛弃，人们应该研究的只是它们之间的关系，而关系由公理来体现。几何学是对空间进行逻辑分析，而不是诉诸直观。这使得计算机能够按照逻辑推理，即在没有真正了解具体状况的情况下创建数学推理。我们在后面还会了解由约翰·罗杰斯·希尔勒（John Rogers Searle）设计的思维试验——“中文房间”。这个思维试验探索了机器翻译的算法，以推翻强人工智能（机能主义）提出的过强主张，试图说明遵循规则不能显示智力和理解力水平。
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遵循数学游戏的规则，你就可以得到数学的定理。但是，这种进行数学证明的冲动是从何而来的？稍加试验就会发现，每个数字都可以写成质数相乘的乘积，而且分解这个数的方法似乎有且只有一种。例如，105=3×5×7。3、5、7都是质数，除此之外没有其他质数的组合相乘可以得到105。在验证的过程中，更多的例子可以增强你对这个发现的信心，你会希望它总是有效。事实上，经过一段时间的验证以后，你可能认为证据是压倒性的，甚至可以把它作为一个公理。
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