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1700516907 就像一个新人写手面对一张完全空白的稿纸一样,面对空空如也的五线谱我感到了恐慌。艾米丽平静地解释道:“每一位作曲家在开始创作一部作品时,都需要先构思一个框架,以便进行创作。”她建议我们从中世纪的复调音乐开始。在中世纪,有一种复调作曲技法叫作有量卡农[5] (prolation canon)。这种作曲技法是从一个简单的节奏开始,单声部进行;随后,第二声部以一半的速度、同样的节奏加入;再然后,第三声部以两倍的速度、同样的节奏加入。尽管主题一致,通过这样的作曲技法就可以让你听到三个声部有着不同的节奏。当了解这种作曲技法后,去听这样的作品时,你立马会在脑海里识别到这种模式并将这三个声部组织起来。
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1700516909 我的家庭作业是:创作一段简单的节奏,用有量卡农的作曲技法写一首弦乐三重奏。对我来说这是一个简单的任务,我可以很容易地写出这首曲子结构对应的数学方程式:X+2X+1/2X。在我创作的过程中,我强烈地感觉我像是一个园丁:从无到有创造出来的一小段节奏就像一颗种子,我将它安置在五线谱上。通过应用艾米丽教给我的算法,这个种子在我手中不断地变化——它在生长,而算法帮助我生成新的部分来填充其余的声部。新生成的部分与原始的种子有很强的联系,但它不只是复制原始的种子,或是它的一部分。看到我的音乐花园在这个简单的规则下变得欣欣向荣,我感到非常满意。
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1700516911 正是这次作曲的经历,让我理解了算法和作曲之间的密切联系。算法是一组规则,它可以接受各种各样的输入,通过将规则应用于输入的内容,可以得到结果。初始输入就是种子,算法是种子生长的方法。我们在前文已得知,运用欧几里得算法[6] 可以求得两个正整数的最大公约数。算法可以有不同的图像,通过分析这些图像,你可以知晓这些算法的内容。有一些算法可以生成分形图形:从一个简单的几何图像开始,反复将一个数学方程应用到图像上,最后就会出现一个复杂的图形。
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1700516913 前面我应用在音乐创作上的算法也具有类似的特性。格拉斯早期的一部作品或许表明了,算法是这位作曲家工具箱里的一个关键工具。他的作品《1+1》是为一人演奏所作,演奏者需要在桌面上敲击出一系列的节奏,所发出的声音会由接触式的麦克风放大。这个作品的主题动机(音符组合的模式)有两个:A是两短一长的节奏,B是一个长的节奏。在格拉斯的指导下,演奏者可以选择某一种算法(规则)来组合这两个主题。
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1700516915 这样,演奏者就被赋予了自己选择算法的自由。格拉斯还做了一些不同算法的范例,例如ABAABBBAAABBBBB……这个算法的规则是每当主题A增加一次,主题B就相应增加两次。我想会有很多人这样批评格拉斯:“得了吧!这哪里是音乐?太过单调乏味了吧!”但对我而言,这个作品向我展现了音乐的核心——当你听到这首作品时,你的大脑会意识到:作品的内容不是随机的,也不是简单的重复。尝试逆向开发作品并从中找到核心模式是一种乐趣。我相信正是这样,使音乐世界和数学世界的联系变得如此紧密。
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1700516917 因此,作曲家在创作的时候要进行艺术或科学的双重考量:发明新的算法,用以创作有趣的音乐;选择不同的种子(即主题动机)输入到算法当中。鉴于现实工作中算法正在不断地提升音乐创作的质量,这可能是计算机成为作曲家的关键吗?
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1700516919 [1] 1887.9.16—1979.10.22,法国著名女音乐教育家、作曲家、指挥家。——译者注
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1700516921 [2] 被看作巴赫(1685—1750)在晚年悉心于音乐艺术最深层探索的思想和实践的最后总结,是其一部未完成的杰作。整部作品由14首赋格和6首卡农组成,它们是由同一个主题发展而来的。这部作品的主要目的是要在一部音乐作品里,尽可能地深度发掘复调音乐对位法的所有可能。——译者注
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1700516923 [3] 即通常所说的“复调”。——译者注
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1700516925 [4] 也称罗巴切夫斯基几何、波利亚–罗巴切夫斯基几何、罗氏几何,是一种独立于欧几里得几何的几何公理系统。——译者注
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1700516927 [5] 又称mensuration canon或proportional canon,是一种复调作曲技法,指卡农的不同声部以相同或相似的节奏(主题动机)、不同比例的速度进行。——译者注
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1700516929 [6] 又称辗转相除法,用于计算两个正整数的最大公约数,应用于数学和计算机两个领域。欧几里得算法和扩展欧几里得算法可使用多种编程语言实现。——译者注
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1700516934 天才与算法:人脑与AI的数学思维 [:1700514918]
1700516935 天才与算法:人脑与AI的数学思维 巴赫:首位音乐程序员
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1700516937 布朗热坚持将学习巴赫的作品作为学习音乐创作的起点,她坚持的原因之一是,算法在巴赫创作音乐的过程中发挥了显而易见的重要作用。在某种程度上,我觉得巴赫应该是首位音乐程序员,因为巴赫的许多作品可以用数学的语言描绘出来,但其蕴含的算法要比中世纪的复调音乐复杂得多。虽说《音乐的奉献》源于腓特烈大帝要求巴赫即兴创作,但这部作品清楚地证明了上述观点。
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1700516939 尽管普鲁士国王腓特烈大帝以他在军事上的功绩而闻名,但他一生都非常热爱音乐。他的父亲在他还是孩子的时候,曾试图摧毁他对音乐的爱好和追求,但并无效果。登上王位后,腓特烈大帝经常在波茨坦的宫殿里为彰显他的文治武功,招揽最优秀的音乐家举办盛大的音乐会。在这些音乐家里,有巴赫的儿子卡尔·菲利普·埃马努埃尔·巴赫(Carl Philipp Emanuel Bach,即C.P.E.巴赫),他是乐团的羽管键琴首席演奏家。
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1700516941 1747年,62岁高龄的巴赫去看他儿子时创作了《音乐的奉献》这部作品。当时的交通不便,在经历了好几天辛苦的旅程后,他终于到了儿子家,这时他已经累瘫了。腓特烈大帝听说巴赫已经到达,立刻下令让巴赫入宫,邀请他参加宫廷音乐会。据说腓特烈大帝十分青睐西尔伯曼钢琴,他把当时仅有的15架全部收入囊中,摆放在宫殿的各处。
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1700516943 收到宫廷的传召,为了不让腓特烈大帝久等,巴赫立马动身前往,甚至没有换下旅行的行装。他一到宫殿,腓特烈大帝就带着他参观那些收藏的钢琴。巴赫惊人的即兴创作能力广为人知,因此腓特烈大帝在宫廷音乐会上给了巴赫一个音乐主题,让他用其收藏的钢琴根据该主题创作一首乐曲。
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1700516945 腓特烈大帝给巴赫的这个主题,并不是一个普通的主题。这是一个缺乏音乐性的主题,几个音符之间的音程关系毫无关联,它们被生硬地堆砌在一起。一般人是无法用这种主题作曲的。20世纪的作曲家阿诺尔德·勋伯格(Arnold Schoenberg)对《音乐的奉献》的巧妙构造感到惊讶,他这样评价:“这不仅仅是单一对卡农模仿。”换句话说,用任何经典的对位规则都无法解释这部作品。此故事有另一个版本:腓特烈大帝和巴赫的儿子编造了这个困难的无旋律性的主题,来挑战巴赫。C.P.E.巴赫是巴赫(约翰·塞巴斯蒂安·巴赫,即J.S.巴赫)的次子,因为巴赫在音乐界的影响甚大,他厌恶一直以来都活在父亲的光环之下。他认为父亲的作品是老派的,他想创造一种新的音乐风格。所以,这次即兴作曲也许是暴露他父亲作曲风格和方法中缺点的机会,好让他出丑。也许正如勋伯格所说,他们希望“享受巴赫掉进这个精心设计的陷阱里的无助感”。如果真是这样的话,那就真的是适得其反,搬起石头砸了自己的脚——巴赫坐下来,用这个怪异的主题,即兴创作了令人惊叹的三部赋格曲。
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1700516947 赋格曲是一种更复杂的卡农或轮唱,很多人在学校里应该唱过这种歌。卡农的唱法是这样的:一半的同学先开始唱,几拍过后,另一半同学再开始唱同一首歌;一个声部的曲调自始至终追逐着另一个声部,直到最后的一个小节;最后的一个和弦,歌声融合在一起,给人以一个神圣的意境。《伦敦大火》(London’s Burning)和《雅克兄弟》[1] (Frère Jacques)都是很好的例子。
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1700516949 这里所使用的算法非常简单,具有非常明显的几何性质。首先,创作旋律导句是卡农的基础,你需要把它写在五线谱上。算法是一个规则,这个算法应用在旋律导句上生成一首和谐的曲子。该算法的工作原理是,先获取旋律导句的副本,然后在时间轴上向右移动,重复相同的乐句(见图11-1)。这种算法选择模仿导句进入的时间不同会产生不同的效果。这有点像罐子上的条形图案,可以复制、移动和重复。就像罐子上的图案,轮唱曲也可以在第一声部、第二声部之后再添加第三声部。
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1700516954 图 11-1
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