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如果把卡农的算法写成一个数学公式，那么我们设旋律的导句为X，然后设延时为S，那么演奏或演唱这首卡农的数学表达式就是X+SX+SSX。该算法创建了一个单一主题的三声部卡农。
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赋格在卡农的基础上进一步发展了，成为多声部多主题动机的多声复调作品。巴赫在作品中喜欢使用的一个手法是：不仅在二声部的时间上做延迟，还对二声部的主题做音高移动的处理。他还会在作品中运用对称规则：二声部可能是将主题旋律反过来使用，就像镜面反射一样。结合所有这些规则，人们可以构建一种算法，来应对如腓特烈大帝故意为难巴赫这样的难题：以一个怪异的主题为基础创作出一首和谐而复杂的乐曲。巴赫已经掌握了这种算法，该算法可以帮助他解决现场即兴创作赋格曲的难题，来应对腓特烈大帝的挑衅。
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腓特烈大帝对这种即兴表演印象深刻，但他想知道巴赫是否能在乐曲上继续添加声部，创作六声部的赋格曲。这是前所未有的。尽管难度很大，巴赫却不想不战而降。创作一部六声部的赋格曲需要更多的时间和精力去构思，不仅仅是坐在键盘前即兴创作就能完成的。所以他回到莱比锡，重新对腓特烈大帝的主题进行变奏创作，以两首赋格曲、四乐章三重奏鸣曲和十首卡农构成了整部套曲，在两个月后呈送给了腓特烈大帝。这其中的赋格曲采用的就是现在为人所称道的、令人惊叹的“里切卡尔”（ricercar）。
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巴赫创作的这部套曲里的十首卡农都是以腓特烈大帝所给的主题为基础的，构成每一首乐曲的都是基础的主题动机和一个数学规则或算法。每一首乐曲都像是一道数学题，演奏者必须解开这道数学题才能进行演奏。例如，巴赫在一首单行乐曲的末尾加了一个倒置的谱号。这个上下颠倒的谱号是巴赫这首乐曲算法的关键，也是演奏者将这个算法应用的关键。算法的内容是：将谱子上下颠倒过来，按照谱面所记演奏出一条旋律，然后再将这条旋律和原有的旋律同时奏出，这样就得到了一首二声部的钢琴曲。该算法是应用于原始旋律主题的规则，目的是为原始声部添加额外的声部。正如图像识别的算法适用于任何照片一样，只要有一个基础的主题动机旋律，这个音乐算法也可应用其上。
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《音乐的奉献》开篇的十首卡农分别用了不同的算法，这些算法在数学的层面上对原始的主题进行了发展。这十首卡农是为后面的里切卡尔做热身，而里切卡尔向我们展示了巴赫如何完美地以一个简单的主题为基础，运用简单的数学算法创作出一部精妙绝伦、异常复杂的作品。这里面应用到的技法有：正格卡农的同度卡农和不同度卡农，变格卡农的增时卡农、减时卡农、倒影卡农，等等。巴赫将这些令人眼花缭乱的规则巧妙地结合在一起，创作出了六声部赋格曲。我们的大脑一边紧张地识别乐曲进行的模式，一边分析这个模式的运行规律，但未来是未知的，所以在分析的同时我们对乐曲接下来的进行模式做出预测是异常困难的。正是这种知与未知点燃着我们的兴奋点。正如哈里森·伯特威斯尔（Harrison Birtwistle）所言：最后一个音符没有演奏完，音乐就还没有结束。
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巴赫当时是否意识到他正在进行数学游戏？在我来看，很明显他知道自己在做什么。因为其中涉及太多有关于数学的部分，我们很难以偶然或是潜意识中的无意间使用来解释。巴赫晚年时申请进入他的学生米兹勒创办的米兹勒音乐学社。该社致力于研究和探索科学与音乐之间的联系，曾公开发表过题为《作曲学习中数学的必要性》的论文。作为会员的巴赫，当然也是支持、认同数学和音乐之间具有紧密的相关性的。
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C.P.E.巴赫对父亲的赋格相当不屑，他声称自己“对枯燥的数学一点都爱不起来”。为了证明赋格除了运用一些小伎俩以外没什么其他有意义的技巧，他甚至设计了一个作曲小游戏——“音乐白丁也可做出二声部复调6小节的乐曲”。玩家手中有两页乐谱，每页有看似随机的一系列音符：第一页为右手准备，即高音声部；第二页为左手准备，即低音声部。玩家所要做的就是随机选择一个音符作为开始，然后是这个音符后的第9个音符，再然后是第18个音符、第27个音符……直到将所有的音符都使用过为止。C.P.E.巴赫设计的关键点在于首音的选择，无论从哪个音符开始，只要遵循继续选择其后第9个音符，这样简单的规则就可以让任何音乐白丁构建出一段可以被接受的对位复调作品。这是多么完美的机器算法！
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《音乐的奉献》经常会被搬上音乐会的舞台，但是我从未听过哪场音乐会演奏了C.P.E.巴赫这样“创作”出的作品，这表明成功的音乐作品可能不仅仅是机械地遵循一套规则就可以。
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莫扎特被认为其有一套类似于C.P.E.巴赫的算法来谱写华尔兹舞曲：一种叫作“骰子音乐”（musikalisches würfelspiel或musical dice game）的游戏算法，使用一组骰子生成16小节的华尔兹舞曲。讲解该游戏算法的《骰子音乐》于1792年首次出版，这时莫扎特已经去世了一年。有人怀疑这个游戏算法根本就是由出版商尼古拉斯·西姆洛克（Nikolaus Simrock）设计的，他只是盗用莫扎特的名字以提高销量。
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这款游戏共176小节，按照11×16的布局排列。第一列是开始的第1小节，有11种不同内容的小节可选择。游戏方法是，掷两个骰子，在得到的点数基础上减去1，这样我们就能得到1～11的点数了。举个例子，若掷出两个6点，那么就选中第一列的第11小节。第二列代表整首曲子的第2小节，同样用掷骰子的方法选择。用这种方法继续，直到完成所有列的选择，最终拼合成16小节的华尔兹。
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令人震惊的是，使用这个系统可以生成1116种不同的华尔兹，即约4600万亿[2] 首华尔兹。一首一首听，一直不停，你需要两亿年才能听完。早期的“算法艺术家”会使用这样的技巧——将预先设定的结构和随机性元素结合。莫扎特的作曲游戏精妙地将176小节（固定结构）和掷骰子（随机性）结合起来，无论怎样都能拼合成令人信服的华尔兹圆舞曲。当然，并非所有的变化都是悦耳的，有些组合显然比其他组合的效果更好。令人遗憾的是，莫扎特并没有给出评价拼合作品的标准。对我而言，这是开放式算法的问题之一。
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[1] 中国版是《两只老虎》。——译者注
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[2] 45 949 729 863 572 161。——译者注
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514919]
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 艾米：人工智能作曲家
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我喜欢做这样一件事：当听到收音机播放音乐时，我会在公布是谁的作品之前猜是谁的作品。一天早上，我坐在书桌前听到一首乐曲，我很快意识到这是巴赫的风格，这首曲子应该是巴赫的作品。曲终时，播音员说这首曲子是由一个算法创作的，这令我十分讶异。让我震惊的不是这首作品让我为以为它是巴赫创作的，而是在短短一首乐曲的时间内我被所听到的打动了。一段代码真的能做到吗？让我好奇的是，其背后的算法是如何让我认为所听到的是伟大的巴赫创作的乐曲。
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巴赫的作品是大多数作曲家开始学习创作的起点，也是大多数计算机开始学习作曲的起点。那天我在广播中听到的那首曲子，是由一位一直在苦苦寻找灵感的作曲家按照简单的代码规则创作出来的。大卫·柯普（David Cope）正在创作一部委约歌剧作品，可是他灵感枯竭，连一个音符都写不出来。当记起阿达·洛夫莱斯曾经预言的“分析机可能会生成任意复杂程度、精细程度的科学的音乐作品”时，他决定在乐思枯竭的状况下求助于算法，探索阿达的预言。
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那是在20世纪80年代初，计算机还不像现在我们见到的这样。他将打孔卡片输入IBM计算机，而音符就是输出。后来他回忆道：“早期实验的结果确实不尽如人意。”但他坚持了下来，并前往斯坦福大学学习了计算机音乐的相关课程。随着委约作品交稿日期的临近，他决定将他在计算机上做的试验付诸现实。
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如果有一种算法可以准确地理解、把握他的创作风格，那么每当他的创作陷入困境并无法继续的时候，这个算法就能给他提供与他创作风格相兼容的建议。即使算法给出的建议是荒谬的，至少算法会帮助他理解并找到可能会是更好的选择。这个算法将成为激发创造力的催化剂。柯普为他的这一套试验命名为“音乐智能试验”（experiments in musical intelligence），简称EMI。从算法试验中诞生的“作曲家”被命名为艾米（Emmy），起这个名字一方面是避免与英国百代唱片公司（EMI）重名，另一方面是柯普想让艾米更人性化。
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柯普在创作歌剧上下了7年的功夫，在艾米的帮助下，他用两周时间就完成了这部歌剧的创作。歌剧《摇篮坠落》（Cradle Falling）发表时，他决定不让外界知道这部作品是在艾米的帮助下创作的，以免使乐评人产生偏见。发表两年后的1987年，歌剧首次公演时，柯普很高兴地发现这部作品获得了他职业生涯中最好的一些评论。一位乐评人说：“这作品太感人了！无疑是一部现代的经典名作！”这样的反馈鼓舞着柯普继续与艾米合作创作作品。
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如果该算法能够学习柯普的创作风格，那么它是否可以经由训练“变成”那些“经典大师级的作曲家”呢？举个例子：算法可以在学习巴赫或巴托克的创作风格后，创作出那些风格的作品吗？柯普相信每一段音乐都内含了编码和指令，用以创造出其他相似但微妙不同的音乐片段。这里所面临的问题是如何将这些指令具体化成代码。
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在艾米的帮助下，他开始为每位作曲家建立一个与他们的风格相对应的数据库，比如他们具有专属特性的音乐语言语汇和技法。音符就是字母，但是什么样的单词可以与某位作曲家的专属语言特征相对应呢？柯普分析的关键概念之一是标志性主题动机，这是一个由4～12个音符组成的序列，它会反复出现在同一作曲家的多部作品中。例如，在莫扎特的钢琴协奏曲中，我们会发现有一种模式反复出现，它被称为“阿尔贝蒂低音”[1] 。它通常出现在音乐的二声部，由三个音按13231323的顺序组成（见图11-2）。
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图 11-2