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难度:★★★☆☆
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分析与解答
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该题主要考察面试者对距离的定义的理解,以及简单的反证和推导。首先看距离的定义:在一个集合中,如果每一对元素均可唯一确定一个实数,使得三条距离公理(正定性,对称性,三角不等式)成立,则该实数可称为这对元素之间的距离。
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余弦距离满足正定性和对称性,但是不满足三角不等式,因此它并不是严格定义的距离。具体来说,对于向量A和B,三条距离公理的证明过程如下。
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正定性 根据余弦距离的定义,有 .
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(2.8)
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考虑到,因此有恒成立。特别地,有
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dist
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(2.9)
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因此余弦距离满足正定性。
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1700533656
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对称性 根据余弦距离的定义,有
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(2.10)
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因此余弦距离满足对称性。
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三角不等式 该性质并不成立,下面给出一个反例。给定A=(1,0),B=(1,1),C=(0,1),则有 ,
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(2.11)
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1700533672
1700533673
,
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1700533675
(2.12)
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dist(A,C)=1 ,
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1700533679
(2.13)
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