1700534841
1700534842
1700534843
图4.3 最小化样本点到直线的距离平方之和
1700534844
1700534845
数据集中每个点xk到d维超平面D的距离为
1700534846
1700534847
1700534848
，
1700534849
1700534850
（4.6）
1700534851
1700534852
1700534853
1700534854
1700534855
其中表示xk在超平面D上的投影向量。如果该超平面由d个标准正交基构成，根据线性代数理论可以由这组基线性表示
1700534856
1700534857
1700534858
，
1700534859
1700534860
（4.7）
1700534861
1700534862
1700534863
其中ωiTxk表示xk在ωi方向上投影的长度。因此，实际上就是xk在W这组标准正交基下的坐标。而PCA要优化的目标为
1700534864
1700534865
1700534866
1700534867
1700534868
（4.8）
1700534869
1700534870
1700534871
由向量内积的性质，我们知道，于是将式（4.8）中的每一个距离展开
1700534872
1700534873
1700534874
1700534875
1700534876
（4.9）
1700534877
1700534878
1700534879
其中第一项与选取的W无关，是个常数。将式（4.7）代入式（4.9）的第二项和第三项可得到
1700534880
1700534881
1700534882
1700534883
1700534884
1700534885
1700534886
1700534887
1700534888
，
1700534889
1700534890
（4.10）