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注意到,其中和表示投影长度,都是数字。且当i≠j时,,因此式(4.11)的交叉项中只剩下d项
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1700534906
1700534907
1700534908
(4.12)
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注意到, 实际上就是矩阵 的迹(对角线元素之和),于是可以将式(4.9)继续化简
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1700534918
.
1700534919
1700534920
(4.13)
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因此式(4.8)可以写成
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.
1700534929
1700534930
(4.14)
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根据矩阵乘法的性质 ,因此优化问题可以转化为,这等价于求解带约束的优化问题
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1700534939
(4.15)
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如果我们对W中的d个基依次求解,就会发现和最大方差理论的方法完全等价。比如当d=1时,我们实际求解的问题是
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1700534946
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(4.16)
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最佳直线ω与最大方差法求解的最佳投影方向一致,即协方差矩阵的最大特征值所对应的特征向量,差别仅是协方差矩阵Σ的一个倍数,以及常数偏差,但这并不影响我们对最大值的优化。
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