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问题 如何对高斯分布进行采样？
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难度：★★★☆☆
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分析与解答
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首先，假设随机变量z服从标准正态分布N(0,1)，令
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x=σ·z+μ ，
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（8.7）
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则x服从均值为 μ、方差为σ2的高斯分布N(μ,σ2)。因此，任意高斯分布都可以由标准正态分布通过拉伸和平移得到，所以这里只考虑标准正态分布的采样。常见的采样方法有逆变换法、拒绝采样、重要性采样、马尔可夫蒙特卡洛采样法等。具体到高斯分布，要如何采样呢？
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如果直接用逆变换法，基本操作步骤为：
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（1）产生[0,1]上的均匀分布随机数u。
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（2）令，则z服从标准正态分布。其中erf（·）是高斯误差函数，它是标准正态分布的累积分布函数经过简单平移和拉伸变换后的形式，定义如下
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．
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（8.8）
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上述逆变换法需要求解erf(x)的逆函数，这并不是一个初等函数，没有显式解，计算起来比较麻烦，所以为了避免这种非初等函数的求逆操作，Box-Muller算法提出了如下解决方案：既然单个高斯分布的累计分布函数不好求逆，那么两个独立的高斯分布的联合分布呢？假设x,y是两个服从标准正态分布的独立随机变量，它们的联合概率密度为
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．
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（8.9）
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考虑 (x,y)在圆盘上的概率
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．
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（8.10）
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通过极坐标变换将 (x,y)转化为 (r,θ)，可以很容易求得二重积分，式（8.10）变为
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1700537370
．
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（8.11）
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这里F(R)可以看成是极坐标中r的累积分布函数。由于F(R) 的计算公式比较简单，逆函数也很容易求得，所以可以利用逆变换法来对r进行采样；对于 θ ，在[0,2π]上进行均匀采样即可。这样就得到了 (r,θ)，经过坐标变换即可得到符合标准正态分布的 (x,y)。具体采样过程如下：