1700537350
（8.8）
1700537351
1700537352
上述逆变换法需要求解erf(x)的逆函数，这并不是一个初等函数，没有显式解，计算起来比较麻烦，所以为了避免这种非初等函数的求逆操作，Box-Muller算法提出了如下解决方案：既然单个高斯分布的累计分布函数不好求逆，那么两个独立的高斯分布的联合分布呢？假设x,y是两个服从标准正态分布的独立随机变量，它们的联合概率密度为
1700537353
1700537354
1700537355
．
1700537356
1700537357
（8.9）
1700537358
1700537359
1700537360
考虑 (x,y)在圆盘上的概率
1700537361
1700537362
1700537363
．
1700537364
1700537365
（8.10）
1700537366
1700537367
通过极坐标变换将 (x,y)转化为 (r,θ)，可以很容易求得二重积分，式（8.10）变为
1700537368
1700537369
1700537370
．
1700537371
1700537372
（8.11）
1700537373
1700537374
这里F(R)可以看成是极坐标中r的累积分布函数。由于F(R) 的计算公式比较简单，逆函数也很容易求得，所以可以利用逆变换法来对r进行采样；对于 θ ，在[0,2π]上进行均匀采样即可。这样就得到了 (r,θ)，经过坐标变换即可得到符合标准正态分布的 (x,y)。具体采样过程如下：
1700537375
1700537376
（1）产生[0,1]上的两个独立的均匀分布随机数u1,u2。
1700537377
1700537378
1700537379
（2）令，则x,y服从标准正态分布，并且是相互独立的。
1700537380
1700537381
Box–Muller算法由于需要计算三角函数，相对来说还是比较耗时，而Marsaglia polar method则避开了三角函数的计算，因而更快，其具体采样操作如下：
1700537382
1700537383
1700537384
1700537385
（1）在单位圆盘上产生均匀分布随机数对 (x,y)（在矩形上利用拒绝采样法即可得到）。
1700537386
1700537387
1700537388
1700537389
（2）令s=x2+y2，则是两个服从标准正态分布的样本，其中用来代替Box-Muller算法中的cosine和sine操作。
1700537390
1700537391
除了逆变换法，我们还可以利用拒绝采样法，选择一个比较好计算累积分布逆函数的参考分布来覆盖当前正态分布（可以乘以一个常数倍），进而转化为对参考分布的采样以及对样本点的拒绝/接收操作。考虑到高斯分布的特性，这里可以用指数分布来作为参考分布。指数分布的累积分布及其逆函数都比较容易求解。由于指数分布的样本空间为x≥0，而标准正态分布的样本空间为(−∞,+∞)，因此还需要利用正态分布的对称性来在半坐标轴和全坐标轴之间转化。具体来说，取 λ=1的指数分布作为参考分布，其密度函数为
1700537392
1700537393
1700537394
，
1700537395
1700537396
（8.12）
1700537397
1700537398
对应的累积分布函数及其逆函数分别为
1700537399