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问题1 简述MCMC采样法的主要思想。
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难度：★☆☆☆☆
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分析与解答
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从名字看，MCMC采样法主要包括两个MC，即蒙特卡洛法（Monte Carlo）和马尔可夫链（Markov Chain）。蒙特卡洛法是指基于采样的数值型近似求解方法，而马尔可夫链则用于进行采样。MCMC采样法基本思想是：针对待采样的目标分布，构造一个马尔可夫链，使得该马尔可夫链的平稳分布就是目标分布；然后，从任何一个初始状态出发，沿着马尔可夫链进行状态转移，最终得到的状态转移序列会收敛到目标分布，由此可以得到目标分布的一系列样本。在实际操作中，核心点是如何构造合适的马尔可夫链，即确定马尔可夫链的状态转移概率，这涉及一些马尔可夫链的相关知识点，如时齐性、细致平衡条件、可遍历性、平稳分布等，感兴趣的读者可以参阅相关资料，这里不再细述。
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问题2 简单介绍几种常见的MCMC采样法。
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难度：★★☆☆☆
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分析与解答
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MCMC采样法的核心点是构造合适的马尔可夫链，不同的马尔可夫链对应着不同的MCMC采样法，常见的有Metropolis-Hastings采样法和吉布斯采样法，如图8.6所示。
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图8.6 MCMC采样示意图
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■ Metropolis-Hastings采样法
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对于目标分布p(x)，首先选择一个容易采样的参考条件分布q(x*|x)，并令
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．
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（8.19）
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然后根据如下过程进行采样：
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（1）随机选一个初始样本x(0)。
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（2）For t = 1, 2, 3, … :
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根据参考条件分布抽取一个样本x*； 根据均匀分布U(0,1)产生随机数u； 若，则令，否则令。 可以证明，上述过程得到的样本序列最终会收敛到目标分布p(x)。图8.6（a）是Metropolis-Hastings算法采样过程的一个示意图，其中红线表示被拒绝的移动（维持旧样本），绿线表示被接受的移动（采纳新样本）。
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■ 吉布斯采样法
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吉布斯采样法是Metropolis-Hastings算法的一个特例，其核心思想是每次只对样本的一个维度进行采样和更新。对于目标分布p(x)，其中是多维向量，按如下过程进行采样：
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