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[10].John Randolph Lucas，The Future（Oxford, U.K.：Blackwell，1990）p.8.
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[11].空间测地线的定义与时空测地线定义正好“相反”。前者定义为两点之间最短距离所对应的路径，后者定义为两个事件间最长原时所对应的路径。这源于时空几何的古怪特性；一个自由下坠的时钟总比其他时钟走得快。因此相比于其他时钟，它也会更频繁地穿梭于两个事件之间。基于以上事实，我想到了一个忠告：想要永葆青春的话，就请加速吧。
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[12].物理学家称这一特性为“广义协变性”（general coordinate invariance），它与微分同胚不变性（diffeomorphism invariance）密切相关。在牛顿力学框架下，我们也可以把时钟当成系统的一部分，对于时钟的选择，我们依然拥有完全的自由。这套理论由朱利安·巴伯和布鲁诺·贝尔托蒂（Bruno Bertotti）合作完成。这使得牛顿范式具有一定的相对性。但是，整个范式的根基依然是，永恒不变的物理定律作用于永恒不变的位形空间。
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[1].Charles W.Misner, Kip S.Thorne，&John Archibald Wheeler，Gravitation（San Francisco：W.H.Freeman，1973）.
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[2].在本书的在线附录中，你可以找到更多量子力学诠释方面的信息，以及这些诠释与本书观点的联系。
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[3].从量子态到概率要经历两个步骤。第一步，量子态会赋予每一个可能的位形一个数字，这个数字被称作该位形的量子振幅（quantum amplitude）。第二步，我们取振幅的共轭平方，这样便得到了系统处于该位形的概率。为什么要分两步？振幅所对应的数字是个既有实部又有虚部的复数。以上方法，允许我们将诸如动量等物理量的概率分布植入同一量子态之中。
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[4].假设一个理论给出了某个电子位置的量子态出现的概率，为了验证这一概率，你需要准备许多处在那个量子态上的原子，随后逐一测量电子在这些原子中的位置。将这些测量结果叠加，你就可以得到实验所测的电子位置的概率分布。你可以将实验所测的概率分布于量子力学计算所得的概率分布相互比较。如果两者相差很小的话，你就可以确认系统初始时确实处于那个量子态。
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[5].这个正比关系的系数就是著名的普朗克常数h。这个常数以其发明人马克斯·普朗克（Max Planck）命名，用以描述单个量子的能量。
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[6].某些宇宙量子态的近似描述对应于膨胀中的宇宙。不过，这些描述对初始条件的选择极为敏感。不做特别选择的话，我们得到的宇宙量子态将是膨胀态与收缩态的叠加。我还想指出，文中给出的推理，是量子宇宙学去时间化的充分理由，但并不是唯一理由。其他人从路径积分、量子引力等许多角度出发，对去时间化进行了论证。此外，阿兰·康纳斯和卡洛·罗威利认为宇宙具有有限温度，而时间正是这一温度的结果。
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[7].我们面临的另一个难题来自量子力学的基本性质——可观测量并不总是具有固定的值。进一步看，量子态并不总是拥有固定的系统能量，尽管其中一些是具有固定能量的定态。我们看到，这些定态同时具有固定的振动频率。事实上，这正是定态的全部可能的行为，即在某个位置以某个正比于系统能量的恒定频率进行振动。
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对于许多量子系统而言，定态组成了一个离散的集合。这时我们会说，系统的能量被量子化了。但系统的大多数量子态并非定态，对这些态而言，它们所拥有的系统能量总是与概率有关。同时，这些态的振动频率也不固定。想要让一个量子系统做定态振动以外更多的事，系统对应的量子态的能量就不能是固定的。做到这一点很容易，因为我们有态叠加原理（superposition principle）。态叠加原理指出，一个系统不同的量子态之间可以相互叠加。这是量子系统波属性的体现。吉他或者钢琴的琴弦可以同时以数个频率进行振动，弦的运动就是这些不同频率振动的叠加。再想象一下往水桶里扔两块小石头，每块小石头都会产生波纹。水面上，这两簇波纹会相遇并相互叠加。量子态叠加原理很像以上两个例子。当我们给出两个量子态后，我们能通过叠加它们得到一个新的态。
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我们试图论证牛顿力学是量子力学的一种近似。态叠加原理对此至关重要。在牛顿力学中，粒子在空间中的运动对应于系统位形的改变。我们希望在量子力学中重现这一图景，这一图景无法在那些固定振动频率的定态上得以体现。为了重现运动，我们要求量子态具有更为复杂的行为，这也意味着它们的能量并不固定。我们可以通过叠加不同能量的定态，获得这样的量子态。
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在量子宇宙中，所有态的能量却都是一样的。因此，以上在量子力学中重现经典运动的简单方法并没有用。我们无法从宇宙量子态出发，推导出广义相对论的预言。
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[8].Abhay Ashtekar，“New Variables for Classical and Quantum Gravity”，Phys.Rev.Lett.57：18，2244-47（1986）.
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[9].Ted Jacobson&Lee Smolin，“Nonperturbative Quantum Geometries”，Nucl.Phys.B.，299：2，295-345（1988）.
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[10].Carlo Rovelli&Lee Smolin，“Knot Theory and Quantum Gravity”，Phys.Rev.Lett.61：10，1155-58（1988）.
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[11].Thomas Thiemann，“Quantum Spin Dynamics（QSD）：II.The Kernel of the Wheeler-DeWitt Constraint Operator”，Class.Quantum Grav.15，875-905（1998）.
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[12].新近发展的量子宇宙模型专注于研究类似第6章中列举的简化版宇宙。我们称这些模型为圈量子宇宙模型。在这些模型提出之前，量子宇宙模型的研究中总是涉及某些非常粗糙的近似，这为研究一些基本问题设置了障碍。新近发展的模型简洁却又精确，它们往往能给出所涉方程的精确解，这让人印象深刻。然而我们还是要强调，它们研究的仅仅是简化版宇宙，特别值得注意的是，这些模型总是在回避时间所涉及的问题。它们选择不谈时间，只谈不同可观测量之间的关联；它们将一个场视作时钟，用以测度另一个场中发生的变化。这提供给了我们一套从没有时间的世界中提取时间的近似方法。这套方法符合相对关系原则。我还想强调，尽管上述问题在圈量子引力以及圈量子宇宙模型中尤为突出，这些问题在其他量子引力理论中普遍存在。举例来说，当我们将弦论用于封闭宇宙模型时，我们会得到一个与惠勒-德维特方程非常类似的方程。一些诸如多重宇宙、永恒暴胀之类的假说同样可以从惠勒-德维特方程中推出。这样看来，所有研究大统一理论以及早期宇宙的理论物理学家都面临着一个共同挑战，即如何诠释各自理论中所得出的不含时间的宇宙。
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幕间 爱因斯坦的不满
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[1].吉姆·布朗告诉我，卡尔纳普想从主次品质有其他角度解决这一问题。我们感知到红色，但实际上没有红色，只有原子在能级跃迁过程中发出的特定频率的光子；我们感知到时间流逝，可实际上没有时间流逝，我们有这种感觉只是因为我们是块状宇宙中能够感知并存储记忆的世界线。在我看来，他只是换了个问题的说法，并没有解决问题。
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[2].The Philosophy of Rudolf Carnap：Intellectual Autobiography, ed. Paul Arthur Schillp（La Salle, IL：Open Court，1963）pp.37-8.
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[1].Carlo Rovelli，The First Scientist：Anaximander and His Legacy（Yardley, PA：Westholme Publishing，2011）.
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[2].Andrew Strominger，“Superstrings with Torsion，”Nucl.Phys.B 274：2，253-84（1986）.
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