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[1].当我们告诉Saucier+Perrotte设计所的建筑师黑板应占多少空间时,他们提议让整栋建筑盖满石板和玻璃,这样就能让我们在上面尽情书写。
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[2].这方面最新的综述,参见:J.Ambjørn et al.,“Nonperturbative Quantum Gra-vity”,arXiv:1203.3591v1[hep-ph](2012);“Emergence of a 4-D world from Causal Quantum Gravity”,Phys.Rev.Lett.93(2004)131301[hep-th/0404156]。
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[3].Fotini Markopoulou,“Space Does Not Exist, So Time Can”,arXiv:0909.1861v1[grqc](2009).
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[4].Tomasz Konopka, Fotini Markopoulou,&Lee Smolin,“Quantum Graphity”,arXiv:hep-th/0611197v1(2006);Tomasz Konopka, Fotini Markopoulou,&Simone Severini,“Quantum Graphity:A Model of Emergent Locality”,arXiv:0801.0861v2(2008);Alioscia Hamma et al.,“A Quantum Bose-Hubbard Model with Evolving Graph as Toy Model for Emergent Spacetime”,arXiv:0911.5075v3[gr-qc](2010).
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[5].Petr Horava,“Quantum Gravity at a Lifshitz Point”,arXiv:0901.3775v2[hep-th](2009).
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[6].T.Banks et al.,“M Theory as a Matrix Model:A Conjecture”,arXiv:hep-th/9610043v3(1997).
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[7].一些专家会指出,体积和表面积都不是可观测物理量,因为它们不具有时空微分同胚不变性。但在某些情况下,体积和表面积确实是物理的。一种可能是,时空边界的微分同胚是固定的;体积和表面积可能是边界的属性。另一种可能是,时间的规范是固定的;在这种情况下,演化的物理描述可由哈密顿量产生。
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[8].这方面的例子参见:Aurelien Barrau et al.,“Probing Loop Quantum Gravity with Evaporating Black Holes”,arXiv:1109.4239v2(2011)。
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[9].“随时间演化”到底随的是什么时间呢?随你怎么定义时间!在圈量子引力中,时间的选取是任意的,这个理论是广义相对论的量子化;而在广义相对论中,时间的选取是任意的,这反映出广义相对论的多指性。
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[10].在最早的圈量子引力中,人们认为图局限于性质极为简单的三维空间。我们没有固定诸如长度、面积、体积这样的可测量量,但我们固定了空间的维度,连通性以及拓扑性质。(这里,“拓扑”指空间黏在一起的方式。当空间的几何被连续扭曲时,拓扑性质将保持不变。)
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我们可以通过一些例子很好地对拓扑加以阐释。最简单的是二维的例子。考虑一个封闭的二维表面,它可能是个球面,也可能是个环面(甜甜圈的样子)。你可以光滑地将一个球面变成其他许多形状,但你不可能光滑地把球面变成环面。如果一个甜甜圈有多个洞眼,那它又代表了一种不同的二维拓扑。
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在固定了空间的拓扑之后,我们还要考虑将图嵌入空间的不同方法。举例来说,我们可以将图的两条边打上结,也可以把它们编成辫子,也可以用其他方法将它们相连。不同的嵌入方法将导致不同的几何量子态(尽管在最近的量子引力工作中,人们不再通过嵌入来定义图)。
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[11].这方面的例子参见:Muxin Han&Mingyi Zhang,“Asymptotics of Spinfoam Amplitude on Simplicial Manifold:Lorentzian Theory”,arXiv:1109.0499v2(2011);Elena Magliaro&Claudio Perini,“Emergence of Gravity from Spinfoams”,arXiv:1108.2258v1(2011);Eugenio Bianchi&You Ding,“Lorentzian Spinfoam Propagator”,arXiv:1109.6538v2[gr-qc](2011);John W.Barrett, Richard J.Dowdall, Winston J.Fairbairn, Frank Hellmann, Roberto Pereira,“Lorentzian Spin Foam Amplitudes:Graphical Calculus and Asymptotics”,arXiv:0907.2440;Florian Conrady&Laurent Freidel,“On the Semiclassical Limit of 4d Spin Foam Models”,arXiv:0809.2280v1[gr-qc](2008);Lee Smolin,“General Relativity as the Equation of State of Spin Foam”,arXiv:1205.5529v1[gr-qc](2012)。
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[12].从技术角度来看,它们是三维流形的三角刨分的对偶。
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[13].Fotini Markopoulou&Lee Smolin,“Disordered Locality in Loop Quantum Gravity States”,arXiv:gr-qc/0702044v2(2007).
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[14].多年以来,我断断续续地围绕这一想法展开了研究。参见:
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Markopoulou&Smolin,“Quantum Theory from Quantum Gravity”,arXiv:grqc/0311059v2(2004);Julian Barbour&Lee Smolin,“Extremal Variety as the Foundation of a Cosmological Quantum Theory”,arXiv:hep-th/9203041v1(1992);Lee Smolin,“Matrix Models as Nonlocal Hidden Variables Theories”,arXiv:hepth/0201031v1(2002);
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——,“Quantum Fluctuations and Inertia”,Phys. Lett.A,113:8,408-12(1986);
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——,“On the Nature of Quantum Fluctuations and Their Relation to ;Gravitation and the Principle of Inertia”,Class. Quant.Grav.3:347-59(1986);
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——,“Stochastic Mechanics, Hidden Variables, and Gravity”,in Quantum Concepts in Space and Time,ed. R.Penrose&C.J.Isham(New York:Oxford University Press,1986);
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——,“Derivation of Quantum Mechanics from a Deterministic Nonlocal Hidden Variable Theory. 1.The Two-Dimensional Theory”,IAS preprint, July 1983.http://inspirehep.net/record/191936.
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[15].Chanda Prescod-Weinstein&Lee Smolin,“Disordered Locality as an Explanation for the Dark Energy”,arXiv:0903.5303v3[hep-th](2009).
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[16].暗物质是一种不释放光的假想物质。如果我们想在牛顿力学框架下解释星系的旋转,暗物质是必须的。
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[17].Lee Smolin,“Fermions and Topology”,arXiv:gr-qc/9404010v1(1994).
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