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[17].Lee Smolin，“Fermions and Topology”，arXiv：gr-qc/9404010v1（1994）.
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[18].C.W.Misner and J.A.Wheeler，Ann.Phys.（U.S.A.）2，525-603（1957）；重印版参见：Wheeler Geometrodynamics（New York：Academic Press，1962）。
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[19].Fotini Markopoulou，“Conserved Quantities in Background Independent Theories”，arXiv：gr-qc/0703027v1（2007）.
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[20].Francesco Caravelli&Fotini Markopoulou，“Disordered Locality and Lorentz Dispersion Relations：An Explicit Model of Quantum Foam”，arXiv：1201.3206v3（2012）；Caravelli&Markopoulou，“Properties of Quantum Graphity at Low Temperature”，arXiv：1008.1340v3（2011）；Caravelli et al.，“Trapped Surfaces and Emergent Curved Space in the Bose-Hubbard Model”，arXiv：1108.2013v3（2011）；Florian Conrady，“Space as a Low-temperature Regime of Graphs”，arXiv：1009.3195v3[grqc]（2011）；另一种几何生成方法参见：João Magueijo, Lee Smolin，&Carlo R.Contaldi，“Holography and the Scale-Invariance of Density Fluctuations”，arXiv：astro-ph/0611695v3（2006）。
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[21].图和三角刨分有着密切关系。给定一种三角刨分，你可以通过如下过程生成一幅图：将每个四面体替换成一个节点；如果两个四面体共享一个面，那就将其替换为连接两个节点的一条边线。
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[22].这幅图展示了含有一维时间和一维空间的量子宇宙。图片来源：R.Loll, J.Ambjørn, K.N.Anagnostopoulos，“Making the Gravitational Path Integral More Lorentzian, or：Life Beyond Liouville Gravity”，arXiv：hepth/9910232，Nucl.Phys.Proc.Suppl.88，241-244（2000）。图片经授权使用。
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[23].Alioscia Hamma et al.，“Lieb-Robinson Bounds and the Speed of Light from Topological Order”，arXiv：0808.2495v2（2008）.
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[1].Richard Dawkins，Climbing Mount Improbable（New York：W.W.Norton，1996）.
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[2].科学家总爱用“涨落”这个词，刚入门的读者可能会感到有些困惑。涨落指的是发生在系统局部的小的随机改变，涨落能让系统紊乱，比如，一滴墨汁可以毁了整幅精心打造的画作。但涨落也能自发的导出高度的组织性，比如，DNA分子上的随机改变引发了突变，最终诞生了更具适应力的动物。
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[3].有意思的是，有机分子（或前生物分子）不仅在地球上被发现了，还在彗星、流星和星际尘埃和气体中被发现了。
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[4].由于技术原因，熵通常取作等价微观态数量的对数。这里之所以为0，是因为我们对1取了对数。
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[5].“Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen”，Ann.der Phys.17（8）：549-60（1905）.
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[6].Martin J.Klein，Paul Ehrenfest：The Making of a Theoretical Physicist（New York：Elsevier，1970）.
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[7].例子参见马丁·艾米斯（Martin Amis）的《时间箭头》（Time’s Arrow），以及根据弗朗西斯·斯科特·菲茨杰拉德（F.Scott Fitzgerald）的小说改编的电影《返老还童》（The Curious Case of Benjamin Button）。
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[8].非常感谢滑铁卢大学的史蒂芬·温斯坦（Steven Weinstein）参与讨论这一问题，他说服了我电磁波时间箭头的重要性。温斯坦2011年的文章，“Electromagnetism and Time-Asymmetry，”arXiv：1004.1346v2，强烈影响了下文的讨论。
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[9].Roger Penrose，“Singularities and Time-Asymmetry”，in S.W.Hawking&W.Israel, eds.，General Relativity：An Einstein Centenary Survey（Cambridge, U.K.：Cambridge University Press，1979），pp.581-638.
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[10].很多物理学家和哲学家总是在想，这些互相区别的时间箭头是否确实存在？或许一个或很少几个时间箭头便可以解释其他箭头？宇宙学时间箭头很可能和其他箭头并没有关联。
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我们很容易想象这样的场景。宇宙快速膨胀，它的膨胀速度如此之快，引力约束结构完全没有时间形成。这样的宇宙将永远处于热平衡态之中，因而没有热力学时间箭头。因此，宇宙膨胀本身不足以解释热力学时间箭头。我们也可以想象，一个宇宙在膨胀到了某个最大尺度后坍缩。据目前所知，我们所居住的宇宙还没抵达这个状态。但是广义相对论存在解，我们的宇宙可能会遵循这些解。在这样的世界中，宇宙学时间箭头会在经过折返点后反向运转。热力学时间箭头是否也会跟着反向运转？洒出的牛奶是否会忽然自动变干净？四分五裂的杯子是否会忽然自动重组？科幻作家喜欢想象这样的场景。但事实上，它们很难发生。
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生物学时间箭头可能确实由热力学时间箭头推出。有人声称，人类老化的原因就是细胞无序度累积的结果。热力学时间箭头也能解释某些经验时间箭头。我们能记住过去但记不住未来的原因在于，记忆是一种组织形式，而未来的组织度低，过去的组织度高——至少有人声称如此。
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最后，热力学时间箭头是否可以从初始条件选择中推出？这个问题由彭罗斯提出。他声称，外尔曲率假设可以解释热力学时间箭头。因为在宇宙初期，没有黑洞或白洞的宇宙的熵低于那些充满了黑洞、白洞的宇宙的熵。彭罗斯的论证基于黑洞有熵的观点。这一惊人事实由雅各布·贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）于1972年发现，并由霍金继续发展。黑洞拥有大量的熵，因为你可以做的最为时间不可逆的事，便是将某物送入黑洞。早期宇宙具有大量黑洞，从而具有数量极大的熵。对于真实的宇宙来说，如果初始时没有那些黑洞，那它就会从一个熵几乎最低的状态展开宇宙历史。
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只要我们坚持宇宙的膨胀足够慢、足够均匀，引力约束系统就可能从中形成，那么彭罗斯的方案就行得通。这样看来，产生一个复杂宇宙的概率极低。因为大多数宇宙的初始条件都会使得宇宙始于平衡态，并终于平衡态。宇宙可能一开始就充满了光波和引力波，这些光波和引力波没有承载任何过去或未来的图像。宇宙也可能一开始就布满了黑洞、白洞。这个世界受时间对称的物理定律支配。在这个世界中，想要解释为什么我们的宇宙这么复杂，很大程度上依赖于一些不大可能发生的选择。在这些选择中，宇宙的初始条件具有时间不对称性。
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[11].具有时间对称性的物理定律应该可以从时间不对称的基础定律中推得；前者是后者在低能或低曲率时空中的近似，是后者的有效理论。因此，在早期宇宙中，具有时间不对称性的基础定律将表现得非常明显。它可以解释为什么我们需要具有高度时间不对称性的宇宙初始条件。
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[12].读者需要注意，我们谈论的是整个宇宙的性质，而不是小型亚宇宙系统的性质。我们能在小型亚系统中或局部宇宙中使用概率的概念。但是，这些系统并没有穷尽我们已知的宇宙。
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[13].当然，如果时间是无穷的话，各个尺度上的涨落都会发生无穷多次。在这种情况下，说罕见的涨落发生的次数会较少，有些棘手，这是因为无穷比无穷并没有良好的定义。
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