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[1].读者或许会问，莱布尼茨全同关系的统一性是否与玻色统计相矛盾。玻色统计允许并鼓励玻色子占据同一个量子态。这里我将给出这个问题的笼统回答，莱布尼茨的原理禁止两个事件拥有同样的量子期望值。本书的在线附录对此作出了更详尽的展开。
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[2].正如我在第10章中指出的那样，这禁止了宇宙拥有完美的对称性。
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[3].想要了解更多自组织的读者，可参阅本书在线参考书目中所列的巴克（Bak）、考夫曼和莫洛维兹（Morowitz）的著述。在莫洛维兹的书中，描述了一套名为“循环定理”的自组织驱动原则；在巴克的书中，描述了自组织临界点现象。
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[4].Julian Barbour and Lee Smolin，“Variety, Complexity and Cosmology”，hep-th/9203041.
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[5].Alan Turing，“The Chemical Basis of Morphogenesis”，Phil.Trans.Roy.Soc.Lond.237：641，37-72（1952）.
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[1].这看似难以令人置信，但我们可以通过一个简单的论证加以说明。论证的细节参见：Brian Greene，The Hidden Reality：Parallel Universes and the Deep Laws of the Cosmos（New York：Knopf，2011）。读者也可参见本书在线附录中的讨论。
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[2].想象一张二维平面。选取平面上的一个点，同时选取从该点出发的一个方向，我们便可得到一条直线。让我们沿着这条直线一直走，直到直线的尽头。这个尽头位于无穷远的地方，但在数学家看来，它仍终结于某处。直线的终结之处被称作无穷远点。让我们选取原点出发的另一个方向，我们就能得到另一条直线。沿着这条直线走到尽头，我们便能抵达另一个无穷远点。从原点出发，你可以沿任意方向前进。各个方向的无穷远点组成了一个圆圈。不管你沿什么方向前进，你总会抵达这个由无穷远点组成的边界。在三维平直空间中，也会发生类似的事。只是在这种情况下，无穷远点组成的不是圆圈，而是球面。如果空间无限且曲率为负，我们也能得到类似的由无穷远点组成的边界。
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在你准备解广义相对论方程时，你必须明确时空边界上的信息。你必须指明什么从边界外进来，什么从边界内出去。对于由无穷远的点组成的边界，我们也必须做同样的事。这是广义相对论的要求。（从专业角度来看，无限大宇宙的爱因斯坦方程，不能通过变分原理导出。除非我们在作用量中添加了边界项，同时明确空间无穷远点的边界条件。）即便这些边界在无穷远处，如果不说明什么进入了宇宙边界、什么脱离了宇宙边界，我们就无法描述这个宇宙。
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[3].在广义相对论的实际应用中，我们常常把拥有无穷远边界的系统看作孤立
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系统。以星系为例。现实中，星系只是宇宙中的一小部分，但对于某个我们关心的模型来说，它可以被视为孤立系统。举例来说，我们想建立一个模型，描述星系中心的黑洞与星系盘上的恒星之间的相互作用。我们会在星系之外画一条边界，对边界之内的星系建模，构造广义相对论的解。但是，想要指明一个有限边界上的信息，我们会遇到一些技术上的麻烦。纯粹出于技术上的方便考量，我们将实际情况理想化，将边界推至无穷远处。这大大简化了我们的描述，因为现在，所有模型中的物质都藏在一个星系内。没有什么东西可以进出星系，除了我们借以观测星系的光波和引力波以外。这类无限空间的使用完全出于实用主义，我们没有什么理由对其表示反对。我们需要指明无穷远处边界上的信息，对我们而言，这恰恰是一种提醒。它告诉我们，我们处理的是理想化系统。我们将局部系统从宇宙中切出，然后假设系统外什么都不存在。然而，如果有模型认为整个宇宙存在边界，那这个模型就非常荒谬，因为它要求我们指明是什么从无穷大的宇宙之外进入宇宙之内。然而，当我们将广义相对论应用于无穷大的宇宙时，我们不得不指明这些事物。
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[4].想更深入地了解此类循环宇宙的读者，请参考：Paul J.Steinhardt&Neil Turok，Endless Universe：Beyond the Big Bang（New York：Doubleday，2007）。
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[5].Martin Bojowald，“Isotropic Loop Quantum Cosmology”，arXiv：gr-qc/0202077v1（2002）；
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——，“Inflation from Quantum Geometry”，arXiv：gr-qc/0206054vi（2002）；
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——，“The Semiclassical Limit of Loop Quantum Cosmology”，arXiv：gr-qc/0105113v1（2001）；
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——，“Dynamical Initial Conditions in Quantum Cosmology”，arXiv：gr-qc/0104072v1（2001）；
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Shinji Tsujikawa, Parampreet Singh，&Roy Maartens，“Loop Quantum Gravity Effects on Inflation and the CMB”，arXiv：astro-ph/0311015v3（2004）.
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[6].Jean-Luc Lehners，“Diversity in the Phoenix Universe”，arXiv：1107.4551v1[hep-ph]（2011）.
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[7].Roger Penrose，Cycles of Time：An Extraordinary New View of the Universe（New York：Knopf，2011）.
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[8].一些文章声称探测到了这类圆圈，参见：
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V. G.Gurzadyan&R.Penrose，“CCC-Predicted Low-Variance Circles in CMB Sky and LCDM”，arXiv：1104.5675v1[astro-ph.CO]（2011）；
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——，“More on the Low-Variance Circles in CMB Sky”，arXiv：1012. 1486v1[astro-ph.CO]（2010）；
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——，“Concentric Circles in WMAP Data May Provide Evidence of Violent Pre-Big-Bang Activity”，arXiv：1011. 3706v1[astro-ph.CO]（2010）.
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一些文章声称这类圆圈不过是噪声，参见：
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