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最后，热力学时间箭头是否可以从初始条件选择中推出？这个问题由彭罗斯提出。他声称，外尔曲率假设可以解释热力学时间箭头。因为在宇宙初期，没有黑洞或白洞的宇宙的熵低于那些充满了黑洞、白洞的宇宙的熵。彭罗斯的论证基于黑洞有熵的观点。这一惊人事实由雅各布·贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）于1972年发现，并由霍金继续发展。黑洞拥有大量的熵，因为你可以做的最为时间不可逆的事，便是将某物送入黑洞。早期宇宙具有大量黑洞，从而具有数量极大的熵。对于真实的宇宙来说，如果初始时没有那些黑洞，那它就会从一个熵几乎最低的状态展开宇宙历史。
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只要我们坚持宇宙的膨胀足够慢、足够均匀，引力约束系统就可能从中形成，那么彭罗斯的方案就行得通。这样看来，产生一个复杂宇宙的概率极低。因为大多数宇宙的初始条件都会使得宇宙始于平衡态，并终于平衡态。宇宙可能一开始就充满了光波和引力波，这些光波和引力波没有承载任何过去或未来的图像。宇宙也可能一开始就布满了黑洞、白洞。这个世界受时间对称的物理定律支配。在这个世界中，想要解释为什么我们的宇宙这么复杂，很大程度上依赖于一些不大可能发生的选择。在这些选择中，宇宙的初始条件具有时间不对称性。
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[11].具有时间对称性的物理定律应该可以从时间不对称的基础定律中推得；前者是后者在低能或低曲率时空中的近似，是后者的有效理论。因此，在早期宇宙中，具有时间不对称性的基础定律将表现得非常明显。它可以解释为什么我们需要具有高度时间不对称性的宇宙初始条件。
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[12].读者需要注意，我们谈论的是整个宇宙的性质，而不是小型亚宇宙系统的性质。我们能在小型亚系统中或局部宇宙中使用概率的概念。但是，这些系统并没有穷尽我们已知的宇宙。
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[13].当然，如果时间是无穷的话，各个尺度上的涨落都会发生无穷多次。在这种情况下，说罕见的涨落发生的次数会较少，有些棘手，这是因为无穷比无穷并没有良好的定义。
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[1].读者或许会问，莱布尼茨全同关系的统一性是否与玻色统计相矛盾。玻色统计允许并鼓励玻色子占据同一个量子态。这里我将给出这个问题的笼统回答，莱布尼茨的原理禁止两个事件拥有同样的量子期望值。本书的在线附录对此作出了更详尽的展开。
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[2].正如我在第10章中指出的那样，这禁止了宇宙拥有完美的对称性。
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[3].想要了解更多自组织的读者，可参阅本书在线参考书目中所列的巴克（Bak）、考夫曼和莫洛维兹（Morowitz）的著述。在莫洛维兹的书中，描述了一套名为“循环定理”的自组织驱动原则；在巴克的书中，描述了自组织临界点现象。
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[4].Julian Barbour and Lee Smolin，“Variety, Complexity and Cosmology”，hep-th/9203041.
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[5].Alan Turing，“The Chemical Basis of Morphogenesis”，Phil.Trans.Roy.Soc.Lond.237：641，37-72（1952）.
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[1].这看似难以令人置信，但我们可以通过一个简单的论证加以说明。论证的细节参见：Brian Greene，The Hidden Reality：Parallel Universes and the Deep Laws of the Cosmos（New York：Knopf，2011）。读者也可参见本书在线附录中的讨论。
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[2].想象一张二维平面。选取平面上的一个点，同时选取从该点出发的一个方向，我们便可得到一条直线。让我们沿着这条直线一直走，直到直线的尽头。这个尽头位于无穷远的地方，但在数学家看来，它仍终结于某处。直线的终结之处被称作无穷远点。让我们选取原点出发的另一个方向，我们就能得到另一条直线。沿着这条直线走到尽头，我们便能抵达另一个无穷远点。从原点出发，你可以沿任意方向前进。各个方向的无穷远点组成了一个圆圈。不管你沿什么方向前进，你总会抵达这个由无穷远点组成的边界。在三维平直空间中，也会发生类似的事。只是在这种情况下，无穷远点组成的不是圆圈，而是球面。如果空间无限且曲率为负，我们也能得到类似的由无穷远点组成的边界。
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在你准备解广义相对论方程时，你必须明确时空边界上的信息。你必须指明什么从边界外进来，什么从边界内出去。对于由无穷远的点组成的边界，我们也必须做同样的事。这是广义相对论的要求。（从专业角度来看，无限大宇宙的爱因斯坦方程，不能通过变分原理导出。除非我们在作用量中添加了边界项，同时明确空间无穷远点的边界条件。）即便这些边界在无穷远处，如果不说明什么进入了宇宙边界、什么脱离了宇宙边界，我们就无法描述这个宇宙。
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[3].在广义相对论的实际应用中，我们常常把拥有无穷远边界的系统看作孤立
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系统。以星系为例。现实中，星系只是宇宙中的一小部分，但对于某个我们关心的模型来说，它可以被视为孤立系统。举例来说，我们想建立一个模型，描述星系中心的黑洞与星系盘上的恒星之间的相互作用。我们会在星系之外画一条边界，对边界之内的星系建模，构造广义相对论的解。但是，想要指明一个有限边界上的信息，我们会遇到一些技术上的麻烦。纯粹出于技术上的方便考量，我们将实际情况理想化，将边界推至无穷远处。这大大简化了我们的描述，因为现在，所有模型中的物质都藏在一个星系内。没有什么东西可以进出星系，除了我们借以观测星系的光波和引力波以外。这类无限空间的使用完全出于实用主义，我们没有什么理由对其表示反对。我们需要指明无穷远处边界上的信息，对我们而言，这恰恰是一种提醒。它告诉我们，我们处理的是理想化系统。我们将局部系统从宇宙中切出，然后假设系统外什么都不存在。然而，如果有模型认为整个宇宙存在边界，那这个模型就非常荒谬，因为它要求我们指明是什么从无穷大的宇宙之外进入宇宙之内。然而，当我们将广义相对论应用于无穷大的宇宙时，我们不得不指明这些事物。
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[4].想更深入地了解此类循环宇宙的读者，请参考：Paul J.Steinhardt&Neil Turok，Endless Universe：Beyond the Big Bang（New York：Doubleday，2007）。
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[5].Martin Bojowald，“Isotropic Loop Quantum Cosmology”，arXiv：gr-qc/0202077v1（2002）；
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——，“Inflation from Quantum Geometry”，arXiv：gr-qc/0206054vi（2002）；
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——，“The Semiclassical Limit of Loop Quantum Cosmology”，arXiv：gr-qc/0105113v1（2001）；
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——，“Dynamical Initial Conditions in Quantum Cosmology”，arXiv：gr-qc/0104072v1（2001）；
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Shinji Tsujikawa, Parampreet Singh，&Roy Maartens，“Loop Quantum Gravity Effects on Inflation and the CMB”，arXiv：astro-ph/0311015v3（2004）.
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[6].Jean-Luc Lehners，“Diversity in the Phoenix Universe”，arXiv：1107.4551v1[hep-ph]（2011）.
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[7].Roger Penrose，Cycles of Time：An Extraordinary New View of the Universe（New York：Knopf，2011）.
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