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友钦天算之学，有其心得；然为时代与水平所限，多见其有未能尽是者。五卷本《四库提要》慎思明辨，曾予逐条指斥，而于书中复加夹行按语明之。爰录于次，以便探讨。
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其中如日至之景一条：《周髀》谓夏至日值内衡，冬至值外衡。中国近内衡之下，地平与内衡相际于寅戌，外衡相际于辰申。二至长短以是为限，其寒暑之气则以近日远日为殊；而此书谓日之长短，由于日行之高低。气之寒暑，由于积气之多寡。
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天周岁终一条：天左旋，其枢名赤极。日右旋，其枢名黄极。经星亦右旋，宗黄极以成岁差；而此书谓天体不可知。但以经星言之：左旋则自东而西，南北不旋。右旋则自西而东，以出入而分南北。截然殊致，而此书谓如良驽二马，驽不及良，一周遭则复遇一处。
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日道岁差一条：岁差由于经星右旋。凡考冬至日躔跋某星几度几分为一事。至授时法所立加减，谓之岁差消长，与恒气冬至、定气冬至，又为一事，迥乎不同，而此书合而一之。
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又天地正中一条：日中天则形小，出地入地则形大，乃蒙气之故。而此书谓天顶远，而四旁近。
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又南北度必测北极出地；东西度必测日食时刻，别无他术。而此书欲以北极定东西之偏正，以东西景定南北之偏正。
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地域远近一条：地球浑圆随处皆有天顶：而此书拘泥旧说，谓阳城为天顶之下。
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又《元史》所记南北海昼夜刻数各有盈缩。而此书谓南北昼夜长短不较多。
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又时刻由赤道度而景移在地平，故早晚景移迟，近午景移疾。愈南则迟者愈迟，疾者愈疾。而此书谓偏西则早迟而晚疾，偏东则早疾而晚迟。
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月体半明一条：凡日月相望必近交道，乃入暗虚。远于交道则不得而掩之。而此书谓隔地受光，如吸铁之石。其论皆失之疏舛。
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他如以月孛之孛为彗孛之孛；谓地上之天多于地下之天；谓黄道岁岁不由旧路；谓月驳为山河影；谓月食为受日光多，阳极反亢；谓日月圆径相倍；谓暗虚非地形。或拘泥旧法，或自出新解，于测验亦多违失。
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然其覃思推究，颇亦发前人所未发。于今法为疏，于古法则为已密。在元以前谈天诸家，犹为实有心得者。故于讹误之处，并以今法加按驳正，而仍在其说，以备一家之学焉。
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学问之道，理当实事求是，博学深思，慎思明辨。此为中国学术优良传统，承学之士当深明此理。
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《革象新书》五卷，于天算之学，分卷分条叙述，体例类于今日教科书的分章分节，内容丰富，秩然有序。在元明清时代可以作为学习古代天算的基础书和教科书读，以明古代天算学的基本范畴。今日尚有其历史意义与现实意义。
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卷一，九条。1．述天道左旋：古人仰观天象，星移斗转。自衡管窥之，一星旋转最密，名曰纽星。其所即为北极。南天星亦旋转，由是以推，南北各有其极。北极常在于天，南极不出于地。以知地在天内。天如蹴球，半球盛水，上浮木板。板上杂置万类。球转不已，然板上之物俱不知觉。2．述日至之景：古人见天暑日高，天寒日低，遂立表以测日影长短。影极短之日称为夏至，极长之日则为冬至。3．述岁序终始：古人以冬至为第1日，逐日记之。至第366日昼影复为最长，则为次年冬至。四期之日满1461日。每年365日有余，积4年的余积，就多1日。把1日分与4年，每年得1/4。4．述闰定四时：古人测验月圆1次，为29日有余。19年若月圆235次。惟19年内中气228。若1朔之内置1中气，则7朔中无中气者为闰。古以19年为1章，76年为1蔀，1520年为1纪，4560年为1元，至朔同于甲子日之先期夜半，谓之历数。5．述天周岁终：每年365日余1/4。19年1章之内，太阳19周，太阴254周。以254均以19，则知太阴每日行13度7/19（即13.368421）。每日太阴远太阳12度7/19。每年太阴、太阳12周余7/19，故每年之日月合12朔余7/19，为闰积。19年得7闰也。6．述历法：由于气朔有差，不断改历。古来改历有六十余次。周衰之时，司天失职。汉太初历，粗为可取。唐一行作大衍历，时以为密。以今观之，犹自甚疏。盖岁久而积差渐多，不容不改。需要随时测验，以求天数之真。7．述星分棋布：周天365度1/4。度皆辐辏于南北两极。最广处在于腰围，名曰赤道。各度皆藉28宿距星纪数，谓之经度。南北称为纬度，以北极相去远近为数。天顶名曰嵩高。北极偏于嵩北55度有奇，赤道则斜倚在南36度。8．述日道岁差：统天历谓周天赤道365度25分75秒，周岁365日24分25秒。百年差1度半；并谓周岁渐渐不同。上古岁策多，后世岁策少：如此则上古岁差少，后世岁差多。授时历法仿之以立加减。岁策之法，上考往古，百年加一秒；下验将来，百年减一秒。9．述黄道损益：冬夏二至之日，黄道平近于两极。其度敛狭，每度约得十之九。春秋二分斜行赤道之交，每度十有一矣。四立之日度在酌中处。授时历步得冬至日躔箕宿，以此寅申度数最少，巳亥度数最多。其余则多寡稍近。
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卷二，十条。1．述积年日法：前代造历积年常数千万。授时历采用旧历截元之术，不取积年日法。2．述元会运世：近世康节先生作《皇极经世书》，以129600年为宇宙之终始。世人多信其说；友钦认为实不可准。3．述气朔灭没：术家算没灭二日。唐一行以前其术不同。授时历仿一行：没用气盈而推灭，用朔虚而求所谓没者。选日者或忌之。4．述日月盈缩：月行13度余7/19；先期或后期，有差至4、5度者，后汉刘洪始考究之，知月有迟疾。隋之刘焯始觉太阳亦有盈缩。最多之时，在于春秋二分，均差两度有余。5．述月有九行：月行出入黄道内外，远于黄道处为6度2分。月道与黄道相交处，在二交之始，强名曰罗。交之中，强名曰计都。自交初至于交中，月在黄道外，名曰阳历，乃背罗向计之处也。自交中至于交初，月在黄道内，名曰阴历，乃背计向罗之处也。6．述时分百刻：将昼夜十二时均分为百刻。一时有8大刻、2小刻。总大刻共96，总小刻共24。小刻6准大刻1，即是共百刻也。7．述昼夜短长：春秋壶箭六七日间增减昼夜一刻。若二至前后，验其昼夜短长。其增减一刻，相去二十余日矣。由是观之：冬夏增减之日迟，春秋增灭之日速，数未始均平。8．述气积寒暑：夏至昼最长，日最近北，乃午中也。冬至昼则最短，日最近南，乃子中也。若以昼夜论之，未时热甚于午，丑时寒过于子，此盖甑灶之理也。9．述天地正中：天体如弹丸，周围上下相距正等，名曰天中。地平不当天半，地上天多，地下天少。10．述地域远近：阳城仰观北极出地36度，南极入地亦36度。钱塘望之，出入之度31，交广以南望之，其度不及20。南极20度以上，其星犹多，中国不可见。寒暑昼夜表景亦皆差别。偏南者暑多寒少，偏北者暑少寒多。
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卷三，四条。（1）述月体半明：日月对望，为地所隔。犹能受日之光者；盖阴阳精气隔碍潜通。如吸铁之石，感霜之钟，理不难晓。《要》按语指出：“此凭胸臆，附会殊疏。”（2）述日月薄食：若日食于朔，月食于望，当以天度经纬而推。同经不同纬，止日合朔；同经同纬合朔而有食矣。日月对躔而望，平分黄道之半。黄道有二交，若不当二交前后，而望则不食。望在二交前后者，其月必食，或既或不既食分之数，尝以距交远近而推。（3）述目轮分视：物小而近，蔽远则多。立步小移，所障迥别。夫日月之行道于列宿，虽依躔相去悬远；测望之所不同，见其少广亦异。（4）述五纬距合：古者只知五纬常度，未知有变数之加减。北齐张子信仰视岁久，知五纬又有盈缩之变。当加减常数，以求其逐日之躔。五纬出入黄道内外，各有其道。视太阳远近，迟疾又有变数之加减者，比如路里之径直斜曲。
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卷四，六条。（1）述盖天舛理：盖天论北极如盖之顶，正当天最高处，四海外则比盖之围檐。其盖平旋一昼夜而周。地下无天，亦无南极。日常在天，未始出没。但去此度远，则此夜而彼昼，去彼度远则此昼而彼夜，为其天远则似乎较低也。其谬明矣。（2）述浑仪制度：浑天之仪有三：一曰六合仪，二曰三辰仪，三曰四游仪，共为一器。（3）述经星定躔：古者逐夜测验中星，遂知黄道各宿度数，复于浑仪以黄道推知赤道度数。赵友钦提出：先测赤道，并以赤道推变黄道之度。惟其泥于地上天多，地下天少的谬说。《提要》因评其“于测验极疏”。（4）述横度去极：浑仪不可测经度，亦不可以测横度。今别立测经度法，亦别立测横度法。《提要》又评此法“于测验极疏”。（5）述占景知交：置一表约高四尺，表首置圆物，状如灯球。表下以石灰涂之，以墨画方眼，眼方一寸。推测四时日景，又测九道、月景，考究东西南北迟疾之差，以推日月两景相犯，求其日食分数，并亏圆时刻起复方位。（6）述偏远准则：地偏南北者，则卯酉表景不相直；地偏东西者，则子午两向不相直。求地偏东西之数，则置刻漏准取昏晓折中，取为夜半。置测经度之木架罅指偏午。于此夜半仰望中星，比较地中。夜半中星则知地偏东西之度数。若求地偏南北之数，但论罅内所见天脊纬度，取其距北极之数计之。
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卷五，三条。（1）述小罅光景：室有小罅虽不皆圆，而罅景所射未有不圆；及至日食则罅景亦如所食分数。罅虽宽窄不同，景却周经相等，但宽浓窄淡。若以物障迎夺此景，则此景较狭而浓。友钦未悟其理，遂作实验。于两楼下挖两圆阱，直径各四尺，深分别为四尺、八尺，阱底置板插烛燃之。阱口各盖木板，其孔有小有大。上悬调节高低之幕。遂得“小景随光之形，大景随空之象”结论。（2）述勾股测天：引申海岛算经之术，姑以其术言之。就地中各去南北数百里，东西不偏，各立一表，约高四丈。于表首下数寸，作一方窍，外广而狭。当中薄如连边，两旁如侧置漏底之盆，形圆而窍方。以南北表景之数相减，余名景差。两表相距路里，各乘南北表景，各如景差而一，即得二表。各与戴日之地相距寸数，名曰平远。南北各以表景加之，所得各以表高乘之，各如表景而一。即得日轮顶与戴日地相距寸数。以南北表景，各加平远所得，自乘名勾幂。日高自乘名股幂。两幂相并名弦幂，开为平方，名曰日远，乃南北表窍之景，距日斜远也。（3）述乾象周髀：古代寻求圆周率近似值，运用勾股定理割圆，刘徽、祖冲之从圆内容六边形起算。祖冲之开至第12次，得圆周率为：3.1415926～3.1415927。赵友钦从圆的四边形起算，进行复核，算至12次，为16384形，得3.141592有奇，与之符合，证明祖率“最为精密”。刘徽说此法“割之又割，以至于不可割；则与圆周合体，而无所失矣”。赵友钦说：“故言其法精密，要之方为数之始，圆为数之终。圆始于方，方终于圆。周髀之术，无出于此矣。”理论上可说得通，但实际计算上有其局限性，今以电脑算之，知尚有失误也。拙于《圆周率的寻求与电脑计算》一文详之。
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赵友钦，阮元于《畴人传》卷二十八列传。传载：其卒，“葬于龙游之鸡鸣山。龙游朱晖，宋德明，从友钦游，受《革象新书》。晖殁，其门人章浚徵宋濂序而刻之”。又论曰：“步算之书，苦于难读。友钦罕譬曲喻，出以平易。其津逮来学之心至矣。小隙光景、乾象周髀诸篇，尤有深得。惟以地平不当天半，地上天多，地下天少，此则友钦之新说，于理不然也。”要言不烦，所论公允而中肯也。
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（原载《古籍整理研究学刊》，东北师范大学古籍整理研究所编，1995年第5期）
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古代天文历法释证 [:1700880780]
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古代天文历法释证 黄宗羲《授时历故》提要
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