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元世祖忽必烈混一宇内，至元十三年丙子（公元1276年），遂诏许衡、王恂、郭守敬改治新历，又令杨恭懿、陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等造测验之器，立测验之所。十七年而授时历成，十八年颁行天下。复由郭守敬编订推步之式及立成之数，诏李谦为历议。破世俗迷信，以正天文，终元之世，未闻改订。今授时历经及历议，具载于《元史·历志》中。
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《元史·郭守敬传》云：“时历虽颁，然其推步之式，与夫立成之数，尚皆未有定稿。守敬于是比次篇类，整齐分秒，裁为《推步》七卷、《立成》二卷、《历仪拟稿》三卷、《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷。”“又有《时候笺注》二卷、《修改源流》一卷。其测验书，有《仪象法式》二卷、《二至晷景考》二十卷、《五星细行考》五十卷、《古今交食考》一卷、《新测二十八舍杂坐诸星入宿去极》一卷、《新测无名诸星》一卷、《月离考》一卷，并藏之官。”述郭守敬造术测验之器，及其历术数据由来著述甚详。《明史历志》又云：“《元史》至元十七年授时历成。十九年王恂卒时历虽颁，然立成之数，尚皆未定稿。郭守敬比类编次，整齐分秒，裁为二卷；而今钦天监本，载嘉议大夫太史令王恂奉撰。意者王先有稿，而郭卒成之欤？”元初宋宗室后裔赵友钦撰《革象新书》五卷，明王祎序谓“其书有《推步》、《立成》等篇”，当为友钦转述授时之著。此著藏诸秘府，《元史·历志》未予阐述，元明历家鲜谂其术。康熙二十八年梅文鼎在北京属稿《明史·历志》。授时之立成稿钦天监尚存，文鼎并于《大统历通轨》中犹可考之。郭守敬所制器简仪、仰仪尚存于钦天监，文鼎亦能见之。
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授时造术，测候有简仪、仰仪、景符、几之器，推步有垛叠、招差、勾股、弧矢之法。先以实测，继之密算。得推步之要，详立法之源，行用讫于元终，明大统历复承其法。施行于世，垂四百年。自三统以来，为术者七十余家，莫与伦比。
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授时历实为中国历史上最进步的历法。黄梨洲撰《历学假如》二卷，以致其用；《授时历故》四卷，兼阐其理。梅文鼎撰《平立定三差说》、《大统历通轨注》。梅于《明史大统历论》中述其著云：“首法原，次立成，次推步，而法原之目七：曰勾股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道差，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。立成之目四：曰太阳盈缩，曰晨昏分，曰太阳迟疾，曰五星盈缩。推步之目七：曰气朔，曰日躔，曰月离，曰中星，曰交食，曰五星，曰四余。”又于《勿庵历算书目·明史历志拟稿》三卷中云：“《历志拟稿》虽为大统而作，实以阐明授时之奥，补《元史》之缺略也。其总目凡三：曰法原，曰立成，曰推步；而法原之目凡七：曰勾股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道差，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。立成之目凡四：曰太阳盈缩，曰太阳迟疾，曰昼夜刻，曰五星盈缩。推步之目凡六：曰气朔，曰日躔，曰月离，曰中星，曰交食，曰五星。”专家之学，博雅精审。故此《拟稿》已摄入《明史·历志》中。《授时历故》四卷，阐述授时：气朔、日躔、月离诸目，可为互补。今日欲治此学，《元史·历志》、《明史·历志》、梅氏、黄氏之著自当综合研究；而《授时历故》为专著之仅存者也。
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授时历的辉煌成就，梅氏已撮其要；今复约之，可分四点述之。曰圭表测望，曰岁差岁余，曰太阳平立定三差，曰弧矢割圆。奥义妙术，四者梨洲皆摄之于《授时历故》中。
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《授时历故》卷一：“圭表测望”，授时以之“推冬至”，“定岁实”。爰举“测景术”为例明之。卷二：“求盈缩差”，即阐太阳平立定三差之术。卷三：“以周天径半弧背求矢”，即阐弧矢割圆之术。卷四：“月离历”，阐迟疾、盈缩术，由经朔转求定朔；亦阐弧矢割圆之术。中国古代天算之学，习用古代汉语书写，与今科学用算式符号表达不同。承学之士，或生理障。爰举四例，略予诠释，以供参考。
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一、古历自三统以来，运用一次同余式推求上元积年日法；郭守敬毅然废之，其识卓越。授时历全凭实测，步气朔即以“至元十八年岁次辛巳为元”，以“推冬至”，以“定岁实”。黄宗羲撰《授时历故》卷一积年，首书“辛巳岁（元至元十八年，即公元1281年）距今作《历故》之岁丙辰，积三百九十六年”（康熙十五年丙辰，即公元1676年），以阐授时历术。其测景术曰：
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置冬夏二至前后日之相对者，以圭表所测正午晷景，日日识之。相减为晷差，进二位为实。次取后二日相连之景，相减为法。实如法而一。冬至景前多后少，为减差；后多前少为加差。夏至景前少后多为减差，后少前多为加差，皆加减相距日，得数半之，加半日刻。命起日算外，满百刻为日，余以发敛用收之，为时刻及分。
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设：以至前某一日晷景为a，至后某二日为b为c，以至前二日，或至后某一日晷景为推算基点。前两日中第二日至后某一日，为相距总刻d，则：
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为冬至距远日晷第一日的日数，设余数为e，则12e/100为冬至日的时数。余数为F，则F/12为冬至的刻数。
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《授时历故》卷一云：“刘宋祖冲之取至前后二十三、四日间晷景，折取其中，定为冬至。”“此授时仿祖冲之所立法也。”梅文鼎云：“授时集诸家之大成。”于此可以窥之。
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二、授时历实测太阳：自冬至春分行一象限91.31度，需时88.91日。每日行一度余。88.91日盈积2.40度。夏至至秋分行一象限91.31度，需时93.71日，每日行一度不到。93.71日缩亦2.40度。春分至夏至与夏至至秋分同；秋分至冬至与冬至至春分同。授时应用“四丈铜表”、“横梁”、“景符”与“量天尺”等测影仪器和“垛积”的招差法算术推算，所得“时差”与平太阳和视太阳相距的时角，几与今日所测密合。根据当时历史条件，发挥其创造力，实足惊人！
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《授时历故》卷二“求盈缩差”列“视盈初、盈末、缩初、缩末四历”数据如次：
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盈初限八十八日九千○九十二分二十五秒。
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盈末限九十三日七千一百二十○分二十五秒。
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缩初限九十三日七千一百二十○分二十五秒。
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缩末限八十八日九千○九十二分二十五秒。
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即以今测列表，比较于下：
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① 授时历的数据见于顾应祥《授时历法撮要》，宁波天一阁明刻本。
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② 今测根据Barlow and Biyan Elementary mathematical Astronomy § 133。
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冬至节气前后，太阳走得快；夏至节气前后，太阳走得慢。这快与慢逐日之率是不相等的。中国历家自唐麟德历以来认为这快慢率的增减合于数学中的级数推值公式。授时历遂衍招差法“平立定三差之术”来计算。《授时历故》卷二“求盈缩差”则以气象限九十一日三十一刻○六分二十五秒，盈缩极差二度四十分一十四秒，积日离为六段就招差法，循术具体演算。
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三、天为球体，黄赤道距度、内外度、白道交周都在球面上。已知太阳的黄道积度求它的赤道积度和赤道内外度，非用球面三角学不可。中国古代无此学科，故欲推求，天文学家只能在浑天仪上直接量取，却无一定的计算方法。郭守敬从沈括的会圆术获得启发，创设弧矢割圆术，用会圆术融合勾股算术来解决天文测量的问题。但由此所得的结果，只是近似值；而且应用相似三角形原理，反复推算，手续较烦。多位数字运用筹算或珠算，十分费事，自然不及西欧球面三角法简捷。三角函数，唐时随着印度佛教传入中国，当时，只有几个小人物在研究，却为名流排挤。历史教训值得重视，引以为鉴。