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卷五，三条。（1）述小罅光景：室有小罅虽不皆圆，而罅景所射未有不圆；及至日食则罅景亦如所食分数。罅虽宽窄不同，景却周经相等，但宽浓窄淡。若以物障迎夺此景，则此景较狭而浓。友钦未悟其理，遂作实验。于两楼下挖两圆阱，直径各四尺，深分别为四尺、八尺，阱底置板插烛燃之。阱口各盖木板，其孔有小有大。上悬调节高低之幕。遂得“小景随光之形，大景随空之象”结论。（2）述勾股测天：引申海岛算经之术，姑以其术言之。就地中各去南北数百里，东西不偏，各立一表，约高四丈。于表首下数寸，作一方窍，外广而狭。当中薄如连边，两旁如侧置漏底之盆，形圆而窍方。以南北表景之数相减，余名景差。两表相距路里，各乘南北表景，各如景差而一，即得二表。各与戴日之地相距寸数，名曰平远。南北各以表景加之，所得各以表高乘之，各如表景而一。即得日轮顶与戴日地相距寸数。以南北表景，各加平远所得，自乘名勾幂。日高自乘名股幂。两幂相并名弦幂，开为平方，名曰日远，乃南北表窍之景，距日斜远也。（3）述乾象周髀：古代寻求圆周率近似值，运用勾股定理割圆，刘徽、祖冲之从圆内容六边形起算。祖冲之开至第12次，得圆周率为：3.1415926～3.1415927。赵友钦从圆的四边形起算，进行复核，算至12次，为16384形，得3.141592有奇，与之符合，证明祖率“最为精密”。刘徽说此法“割之又割，以至于不可割；则与圆周合体，而无所失矣”。赵友钦说：“故言其法精密，要之方为数之始，圆为数之终。圆始于方，方终于圆。周髀之术，无出于此矣。”理论上可说得通，但实际计算上有其局限性，今以电脑算之，知尚有失误也。拙于《圆周率的寻求与电脑计算》一文详之。
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赵友钦，阮元于《畴人传》卷二十八列传。传载：其卒，“葬于龙游之鸡鸣山。龙游朱晖，宋德明，从友钦游，受《革象新书》。晖殁，其门人章浚徵宋濂序而刻之”。又论曰：“步算之书，苦于难读。友钦罕譬曲喻，出以平易。其津逮来学之心至矣。小隙光景、乾象周髀诸篇，尤有深得。惟以地平不当天半，地上天多，地下天少，此则友钦之新说，于理不然也。”要言不烦，所论公允而中肯也。
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（原载《古籍整理研究学刊》，东北师范大学古籍整理研究所编，1995年第5期）
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古代天文历法释证 [:1700880780]
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古代天文历法释证 黄宗羲《授时历故》提要
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元世祖忽必烈混一宇内，至元十三年丙子（公元1276年），遂诏许衡、王恂、郭守敬改治新历，又令杨恭懿、陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等造测验之器，立测验之所。十七年而授时历成，十八年颁行天下。复由郭守敬编订推步之式及立成之数，诏李谦为历议。破世俗迷信，以正天文，终元之世，未闻改订。今授时历经及历议，具载于《元史·历志》中。
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《元史·郭守敬传》云：“时历虽颁，然其推步之式，与夫立成之数，尚皆未有定稿。守敬于是比次篇类，整齐分秒，裁为《推步》七卷、《立成》二卷、《历仪拟稿》三卷、《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷。”“又有《时候笺注》二卷、《修改源流》一卷。其测验书，有《仪象法式》二卷、《二至晷景考》二十卷、《五星细行考》五十卷、《古今交食考》一卷、《新测二十八舍杂坐诸星入宿去极》一卷、《新测无名诸星》一卷、《月离考》一卷，并藏之官。”述郭守敬造术测验之器，及其历术数据由来著述甚详。《明史历志》又云：“《元史》至元十七年授时历成。十九年王恂卒时历虽颁，然立成之数，尚皆未定稿。郭守敬比类编次，整齐分秒，裁为二卷；而今钦天监本，载嘉议大夫太史令王恂奉撰。意者王先有稿，而郭卒成之欤？”元初宋宗室后裔赵友钦撰《革象新书》五卷，明王祎序谓“其书有《推步》、《立成》等篇”，当为友钦转述授时之著。此著藏诸秘府，《元史·历志》未予阐述，元明历家鲜谂其术。康熙二十八年梅文鼎在北京属稿《明史·历志》。授时之立成稿钦天监尚存，文鼎并于《大统历通轨》中犹可考之。郭守敬所制器简仪、仰仪尚存于钦天监，文鼎亦能见之。
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授时造术，测候有简仪、仰仪、景符、几之器，推步有垛叠、招差、勾股、弧矢之法。先以实测，继之密算。得推步之要，详立法之源，行用讫于元终，明大统历复承其法。施行于世，垂四百年。自三统以来，为术者七十余家，莫与伦比。
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授时历实为中国历史上最进步的历法。黄梨洲撰《历学假如》二卷，以致其用；《授时历故》四卷，兼阐其理。梅文鼎撰《平立定三差说》、《大统历通轨注》。梅于《明史大统历论》中述其著云：“首法原，次立成，次推步，而法原之目七：曰勾股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道差，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。立成之目四：曰太阳盈缩，曰晨昏分，曰太阳迟疾，曰五星盈缩。推步之目七：曰气朔，曰日躔，曰月离，曰中星，曰交食，曰五星，曰四余。”又于《勿庵历算书目·明史历志拟稿》三卷中云：“《历志拟稿》虽为大统而作，实以阐明授时之奥，补《元史》之缺略也。其总目凡三：曰法原，曰立成，曰推步；而法原之目凡七：曰勾股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道差，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。立成之目凡四：曰太阳盈缩，曰太阳迟疾，曰昼夜刻，曰五星盈缩。推步之目凡六：曰气朔，曰日躔，曰月离，曰中星，曰交食，曰五星。”专家之学，博雅精审。故此《拟稿》已摄入《明史·历志》中。《授时历故》四卷，阐述授时：气朔、日躔、月离诸目，可为互补。今日欲治此学，《元史·历志》、《明史·历志》、梅氏、黄氏之著自当综合研究；而《授时历故》为专著之仅存者也。
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授时历的辉煌成就，梅氏已撮其要；今复约之，可分四点述之。曰圭表测望，曰岁差岁余，曰太阳平立定三差，曰弧矢割圆。奥义妙术，四者梨洲皆摄之于《授时历故》中。
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《授时历故》卷一：“圭表测望”，授时以之“推冬至”，“定岁实”。爰举“测景术”为例明之。卷二：“求盈缩差”，即阐太阳平立定三差之术。卷三：“以周天径半弧背求矢”，即阐弧矢割圆之术。卷四：“月离历”，阐迟疾、盈缩术，由经朔转求定朔；亦阐弧矢割圆之术。中国古代天算之学，习用古代汉语书写，与今科学用算式符号表达不同。承学之士，或生理障。爰举四例，略予诠释，以供参考。
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一、古历自三统以来，运用一次同余式推求上元积年日法；郭守敬毅然废之，其识卓越。授时历全凭实测，步气朔即以“至元十八年岁次辛巳为元”，以“推冬至”，以“定岁实”。黄宗羲撰《授时历故》卷一积年，首书“辛巳岁（元至元十八年，即公元1281年）距今作《历故》之岁丙辰，积三百九十六年”（康熙十五年丙辰，即公元1676年），以阐授时历术。其测景术曰：
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置冬夏二至前后日之相对者，以圭表所测正午晷景，日日识之。相减为晷差，进二位为实。次取后二日相连之景，相减为法。实如法而一。冬至景前多后少，为减差；后多前少为加差。夏至景前少后多为减差，后少前多为加差，皆加减相距日，得数半之，加半日刻。命起日算外，满百刻为日，余以发敛用收之，为时刻及分。
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设：以至前某一日晷景为a，至后某二日为b为c，以至前二日，或至后某一日晷景为推算基点。前两日中第二日至后某一日，为相距总刻d，则：
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为冬至距远日晷第一日的日数，设余数为e，则12e/100为冬至日的时数。余数为F，则F/12为冬至的刻数。
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《授时历故》卷一云：“刘宋祖冲之取至前后二十三、四日间晷景，折取其中，定为冬至。”“此授时仿祖冲之所立法也。”梅文鼎云：“授时集诸家之大成。”于此可以窥之。
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二、授时历实测太阳：自冬至春分行一象限91.31度，需时88.91日。每日行一度余。88.91日盈积2.40度。夏至至秋分行一象限91.31度，需时93.71日，每日行一度不到。93.71日缩亦2.40度。春分至夏至与夏至至秋分同；秋分至冬至与冬至至春分同。授时应用“四丈铜表”、“横梁”、“景符”与“量天尺”等测影仪器和“垛积”的招差法算术推算，所得“时差”与平太阳和视太阳相距的时角，几与今日所测密合。根据当时历史条件，发挥其创造力，实足惊人！
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《授时历故》卷二“求盈缩差”列“视盈初、盈末、缩初、缩末四历”数据如次：
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盈初限八十八日九千○九十二分二十五秒。
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盈末限九十三日七千一百二十○分二十五秒。
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缩初限九十三日七千一百二十○分二十五秒。
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缩末限八十八日九千○九十二分二十五秒。