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即以今测列表，比较于下：
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① 授时历的数据见于顾应祥《授时历法撮要》，宁波天一阁明刻本。
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② 今测根据Barlow and Biyan Elementary mathematical Astronomy § 133。
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冬至节气前后，太阳走得快；夏至节气前后，太阳走得慢。这快与慢逐日之率是不相等的。中国历家自唐麟德历以来认为这快慢率的增减合于数学中的级数推值公式。授时历遂衍招差法“平立定三差之术”来计算。《授时历故》卷二“求盈缩差”则以气象限九十一日三十一刻○六分二十五秒，盈缩极差二度四十分一十四秒，积日离为六段就招差法，循术具体演算。
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三、天为球体，黄赤道距度、内外度、白道交周都在球面上。已知太阳的黄道积度求它的赤道积度和赤道内外度，非用球面三角学不可。中国古代无此学科，故欲推求，天文学家只能在浑天仪上直接量取，却无一定的计算方法。郭守敬从沈括的会圆术获得启发，创设弧矢割圆术，用会圆术融合勾股算术来解决天文测量的问题。但由此所得的结果，只是近似值；而且应用相似三角形原理，反复推算，手续较烦。多位数字运用筹算或珠算，十分费事，自然不及西欧球面三角法简捷。三角函数，唐时随着印度佛教传入中国，当时，只有几个小人物在研究，却为名流排挤。历史教训值得重视，引以为鉴。
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《授时历故》卷三“推二至纬度”，就是阐述郭守敬的弧矢割圆术。首释“弧背”（全弧背、半弧背）、“弧弦”、“矢”诸名词和“半径”、“黄赤道内外半弧背”等数据。次述“周天径半弧背求矢之术”，即黄赤道半弧背求矢之术。其术曰：
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以半弧背自之，得五百七十度，为半弧背幂。
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24×24＝576
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以周天径自之，得一万四千八百二十三度○六分，为径幂。
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121.75×121.75＝14823.0625，秒不用。
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二幂相乘，得八百五十三万八千○八十四度，为正实。
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以径幂乘径，得一百八十○万四千七百○七度八十五分九十三秒七五，为益从方。
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14823.0625×121.75＝1804707.859375
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以径幂为上廉。倍半弧背得四十八度，经乘周径得五千八百四十四度，为下廉。
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48×121.75＝5844
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以矢、上廉、下廉、益从方、正实，用增乘开方法开之，得矢四度八十四分八十二秒。《明史》卷三十二的割圆求矢术，亦循此术推演。术曰：“置半弧背自之，为半弧背幂，周天径自之为上廉。上廉乘半孤背幂为正实，上廉乘径为益从方。半弧背倍之，乘径为下廉。”用增乘开方法开之，便得矢度。
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四、中国历学第一阶段：在三统历和四分历时，历学认为月行19周等于日行254周。即月行一周，日行13周又19分度之7，亦即日月行1度，月日行13度又19分度之7。都是根据日月的平行度，用以计算24节气的。第二阶段：从乾象、景初两历开始，中经元嘉、大明等历，到南北朝止。东汉贾逵首先发现月行时快时慢，所谓：“月行迟疾。”刘洪以日月平行速度，计算日月合朔，知和实际天象不符，变革历法，作《乾象历》。魏杨伟作《景初历》，更定月行迟疾历。第三阶段：自南北朝起，迄于元季。北朝张子信发现太阳的视运动也时快时慢。所谓：“日行盈缩。”隋刘焯作《皇极历》，首先运用等间距二次内插法计算。李淳风作《麟德历》，以之入历。唐僧一行复创不等距二次内插公式，撰《大衍历》。几经演进，至元郭守敬造《授时历》，集合诸家历法的大成，设立三次内插法，用以计算日躔、月离及五星运动。所得数据日月行度，几与今日科学成就密合。
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《授时历故》卷四为“月离历”。分两部分。其前部分：“推天正经朔入转第一”、“求经朔弦望入迟疾历第二”、“求迟疾差第三”、“求朔弦望定日第四”、“推定朔弦望加时日月宿度第五”，即阐平立定三差之术。《历法》卷二、卷三为日躔历上下，阐述盈缩历术，卷四阐述迟疾历术。两者结合，由经朔转求定朔。第四“日平行一度，月平行十三度十九分度之七”一段，当属黄梨洲按语，述经朔与“以盈缩迟疾之数损益之，始为定朔”。经朔改为定朔，实为中国历学史上改历的一件大事。梨洲叙述，简明扼要，可窥其深娴历学。卷四月离历的后部分诸篇，转入以弧矢割圆之术“推白赤道正交黄赤正交极数术”诸题。此术拙于《授时历术述要》详之。刊于《古籍与科学》，哈尔滨师范大学《北方论丛》中。
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中国历学，古人“观象授时”，顺天求合；有不符时，重行观测，创新说、新法以纠正之。这是七十余家改历的所以兴。创作十三家，太初、太衍、授时三家为最著。然太初附会钟律，太衍附会易象，俱涉神秘色彩。授时偶存灭没之忌外，参校古历疏密，不涉荒诞。治学谨严，成就卓越。西士汤若望于郭守敬，因有中国的第谷之赞。梅文鼎谓：“余初学历，原从授时入手。”又云：“授时历以测验算术为宗”，“法之所以立，数之所以出，以及晷影星度，皆有全书”。惜乎《元史》未予重视，使精意湮没，识者憾焉。
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黄宗羲（公元1610—1695年），字太冲，号梨洲，浙江余姚人也，博览群书，兼通步算。吾师钱琢如教授瞻仰黄氏，谓：“实开浙人研治西洋天算之风气。”《碑传集》卷131，《畴人传》卷36，俱有传。梨洲于清康熙十五年丙辰撰《授时历故》四卷。康熙十八年诏取其所著书宣付史馆，未知及此著否？乾隆四十七年《四库全书》重纂修成，尚未注录。善化刘铎《若水斋古今算学书录补注》谓：“嘉业堂丛书本四卷，附授历要法歌。宣统二年印梨洲遗著汇刊，列入未刊书目中。”江阴宋景昌序谓：“此书已经后人更定，非先生原本。”刘承干谓：“盖因郭守敬历草不传而作。一依本法推算。其所创平立定三差及弧矢割圆诸法赖此以存。此本传自武进李氏，余从曹君直侍读借钞得之。兹更详加校正付梓。”浙江古籍出版社排印《黄宗羲全集》，《授时历故》由刘操南统校，撰《校读记》，刊于第九册。《中国科技典籍通汇·天文卷》，中州古籍出版社即以此为蓝本排印。
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