1700889139
1700889140
授时历的辉煌成就，梅氏已撮其要；今复约之，可分四点述之。曰圭表测望，曰岁差岁余，曰太阳平立定三差，曰弧矢割圆。奥义妙术，四者梨洲皆摄之于《授时历故》中。
1700889141
1700889142
《授时历故》卷一：“圭表测望”，授时以之“推冬至”，“定岁实”。爰举“测景术”为例明之。卷二：“求盈缩差”，即阐太阳平立定三差之术。卷三：“以周天径半弧背求矢”，即阐弧矢割圆之术。卷四：“月离历”，阐迟疾、盈缩术，由经朔转求定朔；亦阐弧矢割圆之术。中国古代天算之学，习用古代汉语书写，与今科学用算式符号表达不同。承学之士，或生理障。爰举四例，略予诠释，以供参考。
1700889143
1700889144
一、古历自三统以来，运用一次同余式推求上元积年日法；郭守敬毅然废之，其识卓越。授时历全凭实测，步气朔即以“至元十八年岁次辛巳为元”，以“推冬至”，以“定岁实”。黄宗羲撰《授时历故》卷一积年，首书“辛巳岁（元至元十八年，即公元1281年）距今作《历故》之岁丙辰，积三百九十六年”（康熙十五年丙辰，即公元1676年），以阐授时历术。其测景术曰：
1700889145
1700889146
置冬夏二至前后日之相对者，以圭表所测正午晷景，日日识之。相减为晷差，进二位为实。次取后二日相连之景，相减为法。实如法而一。冬至景前多后少，为减差；后多前少为加差。夏至景前少后多为减差，后少前多为加差，皆加减相距日，得数半之，加半日刻。命起日算外，满百刻为日，余以发敛用收之，为时刻及分。
1700889147
1700889148
设：以至前某一日晷景为a，至后某二日为b为c，以至前二日，或至后某一日晷景为推算基点。前两日中第二日至后某一日，为相距总刻d，则：
1700889149
1700889150
1700889151
1700889152
1700889153
为冬至距远日晷第一日的日数，设余数为e，则12e/100为冬至日的时数。余数为F，则F/12为冬至的刻数。
1700889154
1700889155
《授时历故》卷一云：“刘宋祖冲之取至前后二十三、四日间晷景，折取其中，定为冬至。”“此授时仿祖冲之所立法也。”梅文鼎云：“授时集诸家之大成。”于此可以窥之。
1700889156
1700889157
二、授时历实测太阳：自冬至春分行一象限91.31度，需时88.91日。每日行一度余。88.91日盈积2.40度。夏至至秋分行一象限91.31度，需时93.71日，每日行一度不到。93.71日缩亦2.40度。春分至夏至与夏至至秋分同；秋分至冬至与冬至至春分同。授时应用“四丈铜表”、“横梁”、“景符”与“量天尺”等测影仪器和“垛积”的招差法算术推算，所得“时差”与平太阳和视太阳相距的时角，几与今日所测密合。根据当时历史条件，发挥其创造力，实足惊人！
1700889158
1700889159
《授时历故》卷二“求盈缩差”列“视盈初、盈末、缩初、缩末四历”数据如次：
1700889160
1700889161
盈初限八十八日九千○九十二分二十五秒。
1700889162
1700889163
盈末限九十三日七千一百二十○分二十五秒。
1700889164
1700889165
缩初限九十三日七千一百二十○分二十五秒。
1700889166
1700889167
缩末限八十八日九千○九十二分二十五秒。
1700889168
1700889169
即以今测列表，比较于下：
1700889170
1700889171
1700889172
1700889173
1700889174
① 授时历的数据见于顾应祥《授时历法撮要》，宁波天一阁明刻本。
1700889175
1700889176
② 今测根据Barlow and Biyan Elementary mathematical Astronomy § 133。
1700889177
1700889178
冬至节气前后，太阳走得快；夏至节气前后，太阳走得慢。这快与慢逐日之率是不相等的。中国历家自唐麟德历以来认为这快慢率的增减合于数学中的级数推值公式。授时历遂衍招差法“平立定三差之术”来计算。《授时历故》卷二“求盈缩差”则以气象限九十一日三十一刻○六分二十五秒，盈缩极差二度四十分一十四秒，积日离为六段就招差法，循术具体演算。
1700889179
1700889180
三、天为球体，黄赤道距度、内外度、白道交周都在球面上。已知太阳的黄道积度求它的赤道积度和赤道内外度，非用球面三角学不可。中国古代无此学科，故欲推求，天文学家只能在浑天仪上直接量取，却无一定的计算方法。郭守敬从沈括的会圆术获得启发，创设弧矢割圆术，用会圆术融合勾股算术来解决天文测量的问题。但由此所得的结果，只是近似值；而且应用相似三角形原理，反复推算，手续较烦。多位数字运用筹算或珠算，十分费事，自然不及西欧球面三角法简捷。三角函数，唐时随着印度佛教传入中国，当时，只有几个小人物在研究，却为名流排挤。历史教训值得重视，引以为鉴。
1700889181
1700889182
《授时历故》卷三“推二至纬度”，就是阐述郭守敬的弧矢割圆术。首释“弧背”（全弧背、半弧背）、“弧弦”、“矢”诸名词和“半径”、“黄赤道内外半弧背”等数据。次述“周天径半弧背求矢之术”，即黄赤道半弧背求矢之术。其术曰：
1700889183
1700889184
以半弧背自之，得五百七十度，为半弧背幂。
1700889185
1700889186
24×24＝576
1700889187
1700889188
以周天径自之，得一万四千八百二十三度○六分，为径幂。