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121.75×121.75＝14823.0625，秒不用。
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二幂相乘，得八百五十三万八千○八十四度，为正实。
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以径幂乘径，得一百八十○万四千七百○七度八十五分九十三秒七五，为益从方。
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14823.0625×121.75＝1804707.859375
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以径幂为上廉。倍半弧背得四十八度，经乘周径得五千八百四十四度，为下廉。
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48×121.75＝5844
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以矢、上廉、下廉、益从方、正实，用增乘开方法开之，得矢四度八十四分八十二秒。《明史》卷三十二的割圆求矢术，亦循此术推演。术曰：“置半弧背自之，为半弧背幂，周天径自之为上廉。上廉乘半孤背幂为正实，上廉乘径为益从方。半弧背倍之，乘径为下廉。”用增乘开方法开之，便得矢度。
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四、中国历学第一阶段：在三统历和四分历时，历学认为月行19周等于日行254周。即月行一周，日行13周又19分度之7，亦即日月行1度，月日行13度又19分度之7。都是根据日月的平行度，用以计算24节气的。第二阶段：从乾象、景初两历开始，中经元嘉、大明等历，到南北朝止。东汉贾逵首先发现月行时快时慢，所谓：“月行迟疾。”刘洪以日月平行速度，计算日月合朔，知和实际天象不符，变革历法，作《乾象历》。魏杨伟作《景初历》，更定月行迟疾历。第三阶段：自南北朝起，迄于元季。北朝张子信发现太阳的视运动也时快时慢。所谓：“日行盈缩。”隋刘焯作《皇极历》，首先运用等间距二次内插法计算。李淳风作《麟德历》，以之入历。唐僧一行复创不等距二次内插公式，撰《大衍历》。几经演进，至元郭守敬造《授时历》，集合诸家历法的大成，设立三次内插法，用以计算日躔、月离及五星运动。所得数据日月行度，几与今日科学成就密合。
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《授时历故》卷四为“月离历”。分两部分。其前部分：“推天正经朔入转第一”、“求经朔弦望入迟疾历第二”、“求迟疾差第三”、“求朔弦望定日第四”、“推定朔弦望加时日月宿度第五”，即阐平立定三差之术。《历法》卷二、卷三为日躔历上下，阐述盈缩历术，卷四阐述迟疾历术。两者结合，由经朔转求定朔。第四“日平行一度，月平行十三度十九分度之七”一段，当属黄梨洲按语，述经朔与“以盈缩迟疾之数损益之，始为定朔”。经朔改为定朔，实为中国历学史上改历的一件大事。梨洲叙述，简明扼要，可窥其深娴历学。卷四月离历的后部分诸篇，转入以弧矢割圆之术“推白赤道正交黄赤正交极数术”诸题。此术拙于《授时历术述要》详之。刊于《古籍与科学》，哈尔滨师范大学《北方论丛》中。
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中国历学，古人“观象授时”，顺天求合；有不符时，重行观测，创新说、新法以纠正之。这是七十余家改历的所以兴。创作十三家，太初、太衍、授时三家为最著。然太初附会钟律，太衍附会易象，俱涉神秘色彩。授时偶存灭没之忌外，参校古历疏密，不涉荒诞。治学谨严，成就卓越。西士汤若望于郭守敬，因有中国的第谷之赞。梅文鼎谓：“余初学历，原从授时入手。”又云：“授时历以测验算术为宗”，“法之所以立，数之所以出，以及晷影星度，皆有全书”。惜乎《元史》未予重视，使精意湮没，识者憾焉。
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黄宗羲（公元1610—1695年），字太冲，号梨洲，浙江余姚人也，博览群书，兼通步算。吾师钱琢如教授瞻仰黄氏，谓：“实开浙人研治西洋天算之风气。”《碑传集》卷131，《畴人传》卷36，俱有传。梨洲于清康熙十五年丙辰撰《授时历故》四卷。康熙十八年诏取其所著书宣付史馆，未知及此著否？乾隆四十七年《四库全书》重纂修成，尚未注录。善化刘铎《若水斋古今算学书录补注》谓：“嘉业堂丛书本四卷，附授历要法歌。宣统二年印梨洲遗著汇刊，列入未刊书目中。”江阴宋景昌序谓：“此书已经后人更定，非先生原本。”刘承干谓：“盖因郭守敬历草不传而作。一依本法推算。其所创平立定三差及弧矢割圆诸法赖此以存。此本传自武进李氏，余从曹君直侍读借钞得之。兹更详加校正付梓。”浙江古籍出版社排印《黄宗羲全集》，《授时历故》由刘操南统校，撰《校读记》，刊于第九册。《中国科技典籍通汇·天文卷》，中州古籍出版社即以此为蓝本排印。
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古代天文历法释证 [:1700880781]
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古代天文历法释证 中国古代天文历算学的特色与源流考辨
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中国在世界文化史上为最早发展天文学的国家之一，有着大量珍贵的天文资料和科学研究的成果。
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中国天文学在古代与农学、医学、数学并列，成为中国古代主要的四门自然科学。在这四门中，天文学与数学关系最为密切，古时称为“天算之学”。这“天算之学”所说的“天”主要是指日、月、星辰（这星辰包括恒星与行星）的天体结构和运行的观测与研究；所说的“算”主要是指根据这些天体运行的观测，进行定量分析，给以计算，古称“推步”。两者相互密切结合，称为“天算之学”。研治这门学科的主要目的“观象授时”，就是制订历法，为农业生产服务。中国古代的多种历法就是根据天体运行的观测和推算，逐步改进而创制的。它们在中国历史上相对地成为各个时期的先进的较为正确的历法。观测日、月的运行，得出各个时期的回归年与朔望月的数据，从而调整这两者的关系，就成为具有中国特色的阴阳历；同时，观测日、月与五星的运行，从而调整这七者的关系，古时称为“以齐七政”，这就成为具有中国特色的天体历的雏形。中国历法的基础和特色就是建筑在“天体的观测”与“数据的计算”上的；梅文鼎因此说：“历之学，测与算二者而已。”
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中国的历学萌芽于几千年前的原始社会，那时已知“观象授时”，这“象”有时是指“物候”，有时是指“天象”。《史记·历书》说：“历建正作于孟春。于时冰泮发蛰，百草奋兴，鹈先滜。”发觉水已解冻，蛰虫起来，百草萌芽，子鸟鸣。意味着：春气发动，用以确定正月，作为孟春，“物及岁具”，这是取象于“物候”的。《夏小正》说：“初昏参中，斗柄悬在下。”观察廿八宿的参宿在黄道正南，北斗的斗柄垂下以定春正月，这是取象于“天象”的。发展到战国和秦汉时期，天象观测作为主要依据。重视天象观测，加以推算，进而制订历法，这时中国的历法逐渐趋于初步成熟阶段。
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1960年山东莒县、1973年山东诸城两处分别出土两个距今约4500年的陶尊，上刻符号。这个符号或释为“旦”。○像太阳，像云气，像峰峦。山上云气托着太阳上升，这可说明中国先民已在观察日出。《尚书·尧典》曾说：“分命羲仲”，“寅宾出日，平秩东作”。这时就有专职观象授时的天文官员，从事祭祀日出，以利农耕。西周青铜器铭文中就有既生霸（魄），既望、既死霸（魄）的月相记载。
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春秋中叶公元前600年左右，始用表、圭观测日影的长短，来定冬至和夏至。冬至太阳正午的视位置最南，它的影子最长，古称“日南至”或“日长至”。同时是以“日南至”之月定为“春王正月”的。钱宝琮先生说：《左传》上记载过两次日南至。它们的间距为133年，闰月记录48次，中间失闰1次，共49个闰月；据此推算恰为“十九年七闰”。日数是809个甲子，周期38日，即48578日，合计一年为365又33/133＝365.2481203，简化小数为0.25，即为1/4。因以365又1/4为一回归年，这种历法古称为“四分历”。中国初期的历法在秦汉时期传世的有“六历”，即黄帝历、颛顼历、夏历、殷历、周历、鲁历，这六历都属于四分历。祖冲之《历议》云：“古术之作，皆在汉初周末，理不得远。”朱文鑫根据其时冬至在牵牛、立春在营室推之，约得古历测定之时，正在周末，距今二千三百余年。
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中国历法，《尧典》记载一回归年长度为366天。分为四季，划分仲春、仲夏、仲秋、仲冬四节，即春分、夏至、秋分、冬至。用闰月调整月份和季节，这就成为阴阳历的基本结构。发展到了战国，形成24节气。“节气”属于阳历体系，“朔望”属于阴历体系。节气和朔望相互配合，构成中国历法阴阳历的历史传统。到了汉武帝元封七年正月颁布邓平、落下闳等人所制订的新历，史称“太初改历”。这历称为“太初历”。其回归年和朔望月的数据不及四分历为精确，却有它的显著进步。1．以正月为岁首，在没有中气的月份设置闰月，使月份和季节的配合更为合理。2．将行星的会合周期测得很准。如：水星为：115.87日，这与今测值为115.88日比，只少0.01日。3．采用135个月的交食周期。一周期中太阳通过黄白交点23次，两次为一食年。即1食年＝346.66日，比今测值346.62日大不到4％。太初历被记录在《汉书·律历志》中，成为中国第一部最为完备的天体历的雏形。
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从古六历和汉太初历的继承与发展都可说明中国历的形成是源于测与算，即天算之学的。