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设：以至前某一日晷景为a，至后某二日为b、c，或至前某二日，或至后某一日晷景为推算基点。前两日中第二日，至至后某一日，为相距总刻数d。
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为冬至距远日晷差第一日的日数，设余数为e，则为冬至日的时数，余数为F，则为冬至的刻数。
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4．定岁实
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黄宗羲《授时历故》卷一定岁实术曰：“取前人所测日景，所得冬至日时刻分秒，距今见测到冬至日时刻分秒，共计若干为实，以相距积年为法而一，得岁实。”
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二、岁余岁差
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太阳经过某恒星，循黄道东行一周，复经某恒星，称为地球绕日一周。为365日6时9分9秒＝365，256354日，称为一恒星年。太阳过春分点，循黄道东行一周，复经春分点，亦即地球绕日行359°59′9.8″需时365日5时48分46秒＝365.242199日，称为一回归年。地球有公转、自转两种运动。当地球公转而自转时，一端因重力关系，赤极又绕黄极运转，使黄、赤道相交点后退，故恒星年与回归年不能齐一。恒星年古人或称为“天”，回归年或称为“岁”，此现象古称“岁差”。梅文鼎《历学疑问》所谓：“天渐差而东，岁渐差而西。”《元史·历志》亦谓：“天之分常有余，岁之分常不足，其数有不能齐者。惟其所差至微，古人初未觉知。迨汉末刘洪始觉冬至后天，谓岁周余分太强，乃作乾象历”；“至晋虞喜、宋何承天、祖冲之，谓岁当有差，因立岁差之法。其法捐岁余，益天周，使岁余浸弱，天周浸强，强弱相减，因得日躔岁退之差，岁余天周二者实相为用，岁差由斯而立”。
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地球绕日公转另一现象，黄道面受其他行星撮动而有变移，交点退行。黄赤大距渐小，岁实随之细微减小。短时不觉，积久渐著。此现象也，易与岁差相混，实际并不一样，自有区分。此一现象古人谓“岁余消长”。黄宗羲《授时历故》因云：“太阳之岁行不等，久而积差，数千百年以上，始有定法。”岁余消长，授时历首予推究。
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岁余、岁差结合，以究岁实，谓：“上考者每百年周天消一秒，岁实长一分。下验者每百年周天长一秒，岁实消一分。”自历史统计得出数据。《元史·历志》因谓：“古今历法，合于今必不能通于古，密于古必不能验于今。今授时历，以之考古则增岁余，而损岁差。以之推来，则增岁差而捐岁余。上推春秋以来冬至，往往皆合；下求方来，可以永久而无弊。”元时测天仪器未臻精密，复乏物理学、微积分诸学科之助，有此创获，实足钦佩。梅文鼎《历学疑问》云：“授时虽承统天之法，而用消长，但以推之旧历而合耳。初未尝深言其故也。”中国历学辄言其然，对于天体现象不若欧洲，如刻白尔、牛顿以力学原理解释之，而明其所以然，自是缺点。梅氏之论，足发人深思也。
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三、太阳平立定三差
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太阳在黄道上绕地运行每日行一度，一年周天，行365.25度。每日行的是相等，还是不相等呢？中国古代天文学家初时认为日行一度是等速的。嗣后逐渐认识它的运行是不等速的，并以数学计算之。自东汉贾逵发现月行迟疾，至元王恂、郭守敬等造授时历对于日月及五星运行不等速观测是愈来愈精密的。第一阶段在三统历和四分历时，根据日月的日平行度，计算24节气。其时认为日月五星运动是等速的。即每日所行距离是相等的。因此，计算日月合朔交会及五星运动和实际天象不符，误差较大。第二阶段自乾象、景初两历开始，中经元嘉、大明等历，到南、北朝时代。东汉贾逵首先发现月行时快时慢，所谓“月行迟疾”。刘洪认为以日月平行逆度计算日月合朔，不符天象实际。月行迟时，以平行计算，月还没追及日，而朝见东方，称之为朒。月行疾时，月追过日，而夕见西方，称之为脁。因作《乾象历》以革之。魏杨伟《景初历》更定月行迟疾历，犹今近点月表，计算一个迟疾历为27日55多些。第三阶段，自南、北朝时代起，迄于元季。北齐张子信在海岛上对太阳进行了三十多年的观测，发现太阳的视运动也是时快时慢，所谓“日有盈缩”。赵道严根据晷影长短，以定日影进退。隋刘焯造《皇极历》首先运用等间距二次内插法来计算它。立躔差，计算等加速或等减速运动。李淳风作《麟德历》稍加改进，以之入历。唐中叶著名天文学家僧一行，重加整理，复创不等间距二次内插公式来进行计算。记录于他所编《大衍历》中。晚唐徐昂造《宣明历》，将一行不等间距内插公式简化。欧洲内插法首为英天文学家格利高里采用，牛顿进一步推广它。徐昂内插公式，近于牛顿所用公式，算法更为进步，所得更较符合天象。几经演进，至元郭守敬作《授时历》，集合诸家历法大成，设立三次差内插法，亦即招差法，用以计算日躔月离及五星运动，所得数据日月行度，几与今日科学成就密合。
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就日躔盈缩论：太阳绕地球运行每日行何以有快慢呢？即在冬至点附近行动比较快，夏至点附近行动比较慢呢？主要原因有二：
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1．地球在轨迹内的角距运动并不一律；
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2．真太阳在黄道内运动，平太阳在赤道平面内运动，黄道上的弧度与赤道上的弧度并不相当。
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根据刻白尔解释，地球运行的轨道是沿着椭圆形的。太阳为这椭圆的一焦点。地球在黄道上运动，离太阳有时近，有时远。刻氏定律：“相等时间段内向径经过的面积相等。”故其运动近太阳时快，远太阳时慢。冬至前后，地球最近太阳，角距运动率大，太阳每日西行速率自然亦大。授时历还不可“能明其所以然之理”（参见《明史》卷三十一《历志》李之藻赞西士语）。但其应用“四丈铜表”、“横梁”、“景符”与“量天尺”等测影仪器，“垛积”的招差法算术推算，所得“时差”与平太阳和视太阳相距的时角，几与今日所测密合，在当时历史条件下发挥其创造力可称惊人！
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授时历实测太阳，自冬至至春分，行一象限91.31度，需时88.91日。每日行一度余，88.91日盈积2.40度。夏至至秋分行一象限91.31度，需时93.71日，每日行一度不到，93.71日缩亦2.40度。春分至夏至，与夏至至秋分同；秋分至冬至，与冬至至春分同。
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《授时历故》卷二所谓：
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盈初限：八十八日九千○九十二分二十五秒。
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盈末限：九十三日七千一百二十○分二十五秒。
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缩初限：九十三日七千一百二十○分二十五秒。
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缩末限：八十八日九千○九十二分二十五秒。
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赤道当南、北极之中，北高南下。日行南陆，为赤道之外，行卑则近，故一日而一度强。日行北陆，为赤道之内，行高则远，故一日而一度弱。此日不平行之故也。
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