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EF－GH＝FJ （立天元一为容直阔，去减六度EF，余为截矢。）
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（D－EJ）FJ＝GJ2
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（D－EF＋GH）（EF－GH）＝GJ2
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（置大圆径以矢减之，……以截矢乘之，为容半长幂，寄左。）
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△DIE∽△GHE
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HG∶DE＝HE∶IE
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（又以二至出入半弧弦DI……为大句，除大股IE，……得……就整为度差，置天元一度为小句HG，以度差乘之……为小股HE，又为容半长。）
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（自之，得……亦为容半长幂。）
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（与寄左相消，得数，以平方开之，得……为弧矢容阔，又为小句。《明史》此处仅云“依法求得容阔”。嫌其简略，读《授时历故》，意庶完足。）
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设D－EF＝a EF＝b ＝C
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（C2＋1）GH2＋（a－b）GH－ab＝O
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＝HE （以度差乘之，得……为容半长。）
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＝EG （置大弦以小句……乘之，以大句……而一，得……为小弦，又为白赤道正交距黄赤道正交半弧弦。）
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再求EG（求得半弧背……为白赤道正交距黄赤道正交极数。）
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中国历学，“质测”、“通几”交相为用。质测自客观天象出发，予以观测，通几则自感性认识提高为理性。质测见其然，通几明其所以然。质测积聚资料，历家从而研究之，抽出规律，用以创造与修订历法，古人所谓观象授时也。一历推行寖久，其释天象或不符合，于是重行观测，寻其症结所在，复创新说、新法以纠正之。此古历家制历、改历七十余家，由表及里，由粗及精，逐步所由发展也。此实中国学术之优良传统，而畴人实具此实事求是之精神焉。中国历学七十余家，创作十三家，太初、太衍，授时三家为最著。太初附会钟律，太衍附会易象，其历术造论及其步算俱含神秘色彩，后之学者非高明之士，辄易误入歧路。惟授时悉凭实测，参校古历疏密，不涉荒诞，科学性强，于中国科技史上最为突出。西士汤若望于郭守敬，因有中国的第谷之赞。阮元亦云：“推步之要，测与算二者而已。简仪、仰仪、景符、窥几之制，前此言测候者未之及也。垛垒、招差、勾股、弧矢之法，前此言算造者弗能用也。先之以精测，继之以密算。上考下求，若应准绳，施行后世，垂四百年，可谓集古法之大成，为将来之典要者矣。自三统以来，为术者七十余家，莫之伦比也。”
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授时历成就卓著，然亦有其局限焉：1．仪器尚属简单。以简仪、仰仪、圭表、景符、窥几窥测日影，求太阳高卑，然于地半径差、地蒙气差，未予校正，故得结论尚不精确。江永于《翼梅》卷四《测景余论》因云：“太阳离天顶稍远，则地面与地心有南北差。”“极高多度之方，冬至太阳近地平，有青蒙气差，使升太阳，使高景为之稍差。”此见甚是。2．理论阐发不足。晷景、岁差、岁余缺乏理论阐发。梅文鼎于《历学疑问·论中西二法之同》因云：“中法言盈缩迟疾，而西说以最高、最卑明其故，（南按：此尚为多禄某之旧说，当时欧洲哥白尼已创地动说矣，耶苏教士保守未予介绍。）中法言段目，而西说以岁轮明其故。是则中历所著者当然之运，而西历所推者其所以然之源，此其可取者也。”历学鲜理论指导，学科发展自不易矣。3．三差法用于天文算术尚疏。《明史·历志》引李天经七政公说于三差法曾予批评，其言云：“三差法俱从勾股平行定者，于天体未合，即各盈缩损益之数，未得其真。”“今新法加减诸表，乃以圆齐圆，始可合天。”江永于《翼梅》卷八《授时平立定三差辩》中亦云：“郭太史时八线表未传中土，以三差法求七政盈缩固巧矣，愚窃谓其数之不真。凡圆体参差为数段，前后相较，其畸零之数，无时而尽。今以段日除积度，相较至再，而即其同，无是理也。凡相差之尾数前后疏密，必不均，同时有收有弃，未有能截然齐一者。今恒六因立差，以为每日平立合差之差，则其差有常，尾数不变，平圆中亦必无此差率也。以至圆之体，而欲以平方、立方之差求之，圆凿方枘，岂能相入哉！或曰：郭氏于七政各分段目测之。其数盖得之积候，未可谓其无凭也。曰：凡以仪器测天，虽极精密，亦及度分而止，必不能得其秒微。各段相较至二差而齐同，皆妙微之数，则其积度畸零之小数，必有迁就于其间者矣。”“有八线之精算，为一切测圆之准绳，则此外更无歧途别径，亦无取乎三差之巧矣。于古人之法，深究其根，存而不用可也。”八线高于三差法。然三差法，由三差而四差、五差，算数亦可臻于精确，算法则殊繁复。三差法故渐失其现实意义矣。4．算术本身问题。《明史》云：“径一圆三，非弧矢真法，盖古历家，以直线测圆形，名曰弧矢法，而算用径一围三，谬也。”“球上三角三弧形，非勾股可尽。盖古法测天，以勾股为本，然勾股能御直角，不能御斜角，目天为圆球，其面上与诸道相割，生多三弧形，勾股不足以尽之。”江永于《授时弧矢割圆论》亦云：“径一围三，古人之恒言，算家之粗率。”“立弧矢之法，或欲以曲求直，则用三乘方法求矢。或欲以直求曲，则因矢以求半背弦差。夫弧背为曲线，矢弦为直线。亘古无相通之率，不相通而强求之。其所求得之数，必非真数也。”“邢氏（邢士登）《律历考》衍三乘方求矢法，迂曲烦难。”“八线之法至矣，剖析大员，细至分秒，无非真数，以此测天，毫莫能遁。”以圆率三入算，未免于粗，不晓郭氏何以用此？沈括会圆术，所得仅近似值，结合勾股定律、弦矢求弧、弧求弦矢，转辗推算，手续烦琐，所得数据，误差较大，气朔未能尽符天象。故授时历虽多创获，局限亦昭然若揭矣。
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窃尝论之：古历数十家之不易造术改历者，盖由于其时数学成就不能满足历学要求焉。换言之，历家所测天象，所见原理，其时尚不能以数学定量分析计算之也，此实要欤？授时历家实测日影，记述日躔盈缩，用垛积、招差、弧矢割圆之术计算黄赤大距。于其时也，数学已称先进，故授时历于史亦独见其光彩矣。惜乎历家未能踵事而增华也。否则，椎轮为大辂之始，刻白尔、牛顿之天体学说、物理学、球面三角学其将发轫于斯乎？元明三百年中，珍惜此学者仅唐顺之、黄宗羲数人而已。郭氏历算，终于湮没。余书至此，未尝不泪潸潸也。《元史》修《历志》时，竟将授时历之精意删去。迨夫梅文鼎预修《明史·历志》，始予补写。学术显晦，承学之士，其当深思者矣。
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黄宗羲，字太冲，号梨洲，余姚人也。博览群书，兼通步算，“实开浙人研治西洋天算之风气”[55]。阮元《畴人传》卷三十七称其所著为：“《大统历法辨》四卷，《时宪书法解新推交食法》一卷，《圆解》一卷，《割圆八线解》一卷，《授时历法假如》一卷，《西洋历法假如》一卷，《回回历法假如》一卷。”于算用力可谓勤矣。惜乎其传世者，盖若凤毛麟角矣。《授时历故》一卷，有民国吴兴刘氏嘉业堂刊本。《历学假如》二卷、《授时历法假如》一卷，《西洋历法假如》一卷，黄宗羲、姜希辙合撰，有康熙二十二年癸亥西麓堂刊本。《回回历法假如》一卷，姜希辙校刊，有康熙间刊本数种而已。《新推交食法》一卷，余姚黄氏九世孙鸿卿藏，卷面题“梨洲公遗墨”，于“推庚辰历元后二十四节气日率”下有“黄宗羲学”四字，盖鸣野山房章。然书中有“乾隆二十五年庚辰”及“予于丁丑年失恃，情绪无聊，不复治举子业，偶过书肆，见明季西儒所撰历书……证之时宪”之语，当非梨洲原稿，或为黄炳垕所修定者。[56]《监国鲁五年庚寅大统历》一卷，有新会陈垣先生家藏清刻本。《监国鲁元年丙戌大统历》一卷，江藩、黄炳垕俱云“颁之浙东”，未见。《大统历推法》一卷、《大统历法辨》一卷、《春秋日食历》一卷、《气运算法》一卷，《勾股图说》一卷、《开方命算》一卷、《测圆要义》一卷、《割圆八线解》一卷。自《监国鲁元年丙戌大统历》一卷至《割圆八线解》一卷九种（黄）百家、江藩、黄炳垕、黄嗣艾等人著作，俱著录之。未见。[57]“康熙十八年都御史徐元文”荐梨洲于朝，先生心怀故国，不愿出仕，以老病辞。清修《明史》，《历志》明用大统，实即授时。补《元史》阙载之事，详其未备。梨洲通授时历，为撰稿焉。梅文鼎《勿庵历算书目明史历志拟稿》云：“《明史·历志》属稿者，检讨钱唐吴志伊任臣；总裁者，中丞汤潜庵先生斌也……最后以属山阴（当作余姚）黄梨洲先生宗羲。岁己巳（康熙二十八年），鼎在都门，昆山以志稿见属，谨摘讹舛五十余处，粘签俟酌，欲候黄处稿本到齐属笔，而昆山谢世矣。无何，梨洲季子主一百家从余问历法，乃知鼎前所摘商者，即黄稿也。”是知梨洲曾贡稿于《明史·历志》矣。《授时历故》梅文鼎或未见。《四库全书》未予注录，民国吴兴刘承干自曹君直处借钞刊行。钱琢如师于《浙江畴人著述记》尚未注录，读之者少。然授时历所创平立定三差及弧矢割圆诸法，依法推算，求出数据，赖此以存，足为读《元史·历志》、《明史·历志》之助，非守敬之功臣欤？《南雷文约》中犹有考证历算论文数篇，亦见其学精审。宁波天一阁藏《授时历法撮要》仅存（自四页至四十二页）三十九页残本一册，作者顾应详，姓氏已脱，是书内容简单。今值梨洲先生逝世二百九十周年纪念，因作《授时历术述要》，以志先生之勋，而附缀著述于此焉。
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（原刊《宁波师院学报》，1985年2月，黄宗羲研究专辑）
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