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1700891167 《易·系辞》：“天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”郑玄注以为“天数五”是1、3、5、7、9五个奇数，“地数五”是2、4、6、8、10五个偶数，“五位”是五行的方位。1、2、3、4、5谓之“生数”，各加5，得6、7、8、9、10谓之“成数”。以1、6配水，位于北方；以2、7配火，位于南方；以3、8配木，位于东方；以4、9配金，位于西方；以5、10配土，位于中央，成为“天地生成之数”。《易·系辞》说：“天一、地二，天三、地四，天五、地六，天七、地八，天九、地十。”又说：“乾，阳物也；坤，阴物也。阴阳合德，而刚柔有体，以体天地之撰（数）。”一行把《易经》象数中涉及的一些术语接过来，扩大地附会着说：“天数始于一，地数始于二，合二始以位刚柔。”《易》说“天九地十”，一行说“天数终于九，地数终于十”。历法十九年七闰，一行把十九年的十九拆开成十加九，因说：“合二终以纪闰余。”《易》说“天五地六”，一行因说：“天数中于五，地数中于六。”五音宫、商、角、徵、羽，古代吹管成律，使阳律六，阴律六，配十二支，也即十二辰。《易乾凿度》说：“日干者，五音是也；辰十二者，六律是也。”一行因说：“合二以通律历。天有五音，所以司日也；地有六律，所以司辰也。”参即三，伍即五。天的中数五，地的中数六。六等于2×3。2（3×5）＝30，2（5×3）＝30，30＋30＝60。一行因说：“参伍相周，究于六十。”这是天地中数的交互相周。天地之中，即天地之心。一行因说：“以此见天地之心也。”“自五以降”逆序数为5、4、3、2、1，相加得15，一行称为五行生数。“自六以往”顺序数为6、7、8、9、10，相加得40，一行称为五材成数。五材见于《左传》襄公二十八年。一行把五材借指五行。生数和成数相互相乘，一行称为“错而乘之，以生数衍成数”，生数衍成数，即生数乘成数。一数，约天中或地中之积，即600÷40＝15，或生数约中积，即600÷15＝40。两数相加，15＋40＝55，一行便说：“兼而为天地之数。”这数字以5除之，55÷5＝11＝5＋6，一行便说：“复得二中之合矣。”《易乾凿度》说：“圣人设卦用蓍。”郑康成注说：“蓍者……与天地气氲齐生，应天地大数，丛生四十九茎。”一行又把历数拉到“蓍数”、“爻策”上去。乾阳九，为老阳，为天，为父；坤阴六，为老阴，为地，为母。9＋6＝15，是乾坤之象。7为少阳，三少阳，即震长男，坎中男，艮少男；8为少阴，三少阴，即巽长女，离中女，兑少女。合三少阳三少阴，得六子之象。一行因说：“九六各一，乾坤之象”；“七八各三，六子之象。”三七相乘得二十一，三八相乘得二十四。二十一与二十四相加得四十五，十五加四十五，共得六十。以四象乘六十得二百四十，一行因说：“爻数通乎六十，策数行乎二百四十。”一行认为这些丛生四十九茎的蓍，通乎象数的变化，是律历的纲纪，因说：“是以大衍为天地之枢，如环之无端，盖律历之大纪也。”一行耍弄这样的象数游戏，说了许多玄妙的话，目的无非是在那个时代中，披着这件外衣，教人神秘难测，相信历数出之于天，不是一般人所能理解，最高封建统治者是天命所归的，所以，宣扬历数的神秘主义实质是为皇权神授说服务的。

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1700891169 秦九韶是中国南宋时期一位杰出的数学家，淳祐七年（1247）著作《数书九章》。他在《自序》中说：“窃尝设为问答以拟于用，积多而惜其弃，因取八十一题厘为九类，立术具草，间以图发之。”《数书九章》中81个应用问题分成：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类。每题答案之后都有“术”以说明解题的方法，有“草”以说明演算步骤，在必要时他复用图来显示。其中大衍求一术（一次同余式组问题解法）和正负开方术（数学高次方程求正根法）是两个有世界意义的重要贡献。大衍求一术发扬光大了整数论中一次同余式问题的解法，是中国古代数学的一项伟大成就。

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1700891171 不过，秦九韶生活在中国古代社会里，与刘歆和僧一行有着某些类似的时代背景和学术传统。他把解决一次同余式组而设的许多问题归结为求一术，用来阐明《易·系辞》的“大衍之数五十，其用四十有九”这句话的意义，因名其本题称为大衍求一术。一次同余式问题，最早见于《孙子算经》，题为：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

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1700891173 设：

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1700891175 N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7），求最小正数N。孙子的解答为N＝2×70＋3×21＋2×15－2×105＝23。这个解法扩展开来可得下列定理：

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1700891177 设a1，a2，a3两两互乘，

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1700891179 N≡R1（mod a1）≡R2（mod a2）≡R3（mod a3）。假使找到K1，K2，K3，满足下列同余式

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1700891181 K1a2a3≡1（mod a1）

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1700891183 K2a1a3≡1（mod a2）

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1700891185 K3a1a2≡1（mod a3）

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1700891187 那么，N≡R1K1a2a3＋R2K2a1a3＋R3K3a1a2（mod a1a2a3）[62]

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1700891189 秦九韶在《数书九章》卷一“大衍总术”里，两两互乘的ai称为定数，诸ai的连乘积M称为衍母，以各定数除衍母得Gi称为衍数。Ki称为乘率，计算乘率的方法称为大衍求一术。

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1700891191 由此可知求一术与《易·系辞》所说“大衍之数五十，其用四十有九”这句话完全是两码事。《易·系辞》这句话不过是说：起课的时候用着五十枝蓍草，还有一枝备而不用。由于文辞简奥，历来注疏揲蓍之法的没有解释清楚，引起不少误解，可是，这里却是没有什么科学的数学原理。《易经》从汉代起，一直处于六经之首，在中国的经学史上，居于崇高的地位。秦九韶张皇其辞，于是在《数书九章》开头《蓍卦发微》中便与求一术挂上钩去。题为：

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1700891193 问：《易》曰：“大衍之数五十，其用四十有九。”又曰：“分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四，以象四时，三变而成爻，十有八变而成卦。欲知所衍之术及其数各几何？”

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1700891195 答曰：衍母一十二，衍法三。

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1700891197 一元衍数二十四，二元衍数一十二。

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1700891199 三元衍数八，四元衍数六。

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1700891201 　　已上四位衍数，计五十。

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1700891203 一揲用数一十二，二揲用数二十四。

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1700891205 三揲用数四，四揲用数九。

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1700891207 　　已上四位用数，计四十九。

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1700891209 这问题的性质，显与《孙子算经》求一术不同，因而是一种穿凿附会。秦九韶在自序中还说：“昆仑旁礴，道本虚一。圣有大衍，微寓于《易》。奇余取策，群数皆捐。衍而究之，探隐知原。”用以眩世，来提高求一术的地位。这和僧一行之写《历议》宣扬神秘主义，他们的写作方法和写作动机是有其共通之处的。

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1700891211 （在北京师范大学数学系举办秦九韶《数书九章》成书七百四十周年纪念暨学术研究国际会议上宣读，1987年5月）

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