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前面我们看到了人类如何为我们的描述添加上各种“包袱”。现在,让我们来看看对立面——数学抽象如何能消除“包袱”,剥离至万物赤裸的本质。我们先来看看那个被称为“不朽对局”(Immortal Game)的棋局(见图9-6)。对局中,白棋引人注目地牺牲了两个车、一个象和一个后,用剩下的最后3个轻子完成了将死。这个对局最早于1851年出现在阿道夫·安德森(Adolf Anderssen)与莱昂内尔·吉塞芮茨基(Lionel Kieseritzky)的对弈中。每年,同样的棋局都会重复出现在意大利的马罗斯蒂卡(Marostica),世界各地的象棋爱好者会涌至此地,重复这个对局,有的棋手还会装扮成棋子的样子。一些棋手(包括我弟弟佩尔、他儿子西蒙和我儿子亚历山大,图9-6左一)会使用木头做的棋子;还有一些人会用大理石或塑料做成不同形状和大小的棋子,棋盘有的是棕色和米黄色相间,有的是黑白相间;还有一些则是虚拟的三维或二维计算机图像(图9-6右一)。但是你会觉得,这些细节都不重要——当棋迷们用“美丽”这个词来形容不朽对局时,他们并不是指棋手、棋盘和棋子具有吸引力,而是指一个更抽象的实体,一场抽象的比赛,或者说是棋子运动的序列。
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图9-6 一场抽象的象棋比赛与棋子的颜色和形状无关,也与棋子是在物理存在的棋盘还是虚拟的计算机渲染图像上运动,或是所谓的代数记谱法上运动无关——它都是同一场棋局。类似地,数学结构也与描述它的符号无关。
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现在,让我们来看看人类是如何描述这些抽象实体的。首先,一段描述必须明确而具体,所以我们发明了客体、语言或其他符号来表示抽象的思想,比如,在美国,我们把可斜着走的棋子叫作“主教”(bishop)。其次,这个名字显然是很随意的,换个名字也无妨——实际上,法国人管这个棋子叫作“小丑”(fou),斯洛伐克人称之为“射手”(strelec),瑞典人称之为“跑者”(l pare),而波斯语称之为“象”(fil)。然而,我们可以引入一个强大的武器,将这些不同的称谓统一起来,让不朽对局保持独一无二的特性。这个武器就叫作“等价”。
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●我们将同一个事物的两个不同描述定义为“等价”。
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●如果两个描述是等价的,则它们描述的是同一个事物。
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比如,我们都一致认同,如果两个对棋子位置的描述的不同点仅在于棋子的大小,或棋手母语对它的不同称谓,那这两个描述就是等价的。
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等价
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如果两个描述之间存在一个保留了所有关系的对应性,那么这两个描述就是等价的。
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所有的语言、概念或符号,如果它们只出现在某些而非全部等价描述中,那么很显然,它们就是可有可无的,因此都是“包袱”。那么,如果我们想要深入至不朽对局的真正本质,到底要剥离掉多少“包袱”呢?很显然,答案是许多。因为计算机在下棋时可以不涉及任何人类的语言和概念(如颜色、材质、大小和棋子的名字)。要完全理解我们到底可以走多远,需要先对“等价”下一个严格的定义。
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象棋涉及抽象的实体(不同的棋子和棋盘上不同的方格)以及它们之间的关系。比如,棋子与方格的一种关系是前者在后者之上。还有一种关系是,棋子允许移动到某个方格。比如,在我们的定义中,图9-6中间的两幅图是等价的:三维的棋子棋盘和二维的棋子棋盘之间存在一个对应关系,不管三维的棋子位于哪个方格中,在二维棋盘中都能找到一个对应的棋子位于对应的方格中。同样,对棋子位置的纯英文描述与纯西班牙文描述是等价的——只要你有一本英文和西班牙文相对应的词典,你就可以将西班牙文的描述翻译成英文的描述。
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当报纸和网站在介绍棋局时,通常会采用另一种等价描述即所谓的“代数记谱法”(algebraic cless notation,见图9-6右一)。这种形式中,棋子并不是以文字或物体的形式呈现的,而是用单个字母(比如,象用B)来表示,而方格用一个代表列的字母和一个代表行的数字来表示。由于图9-6右图中对棋局的抽象描述与一段在实体棋盘上下棋的视频是等价的,所以,在后者中,所有不包含在前者中的描述都只是“包袱”——从棋盘的物理实体到棋子的形状、颜色的名称。甚至代数记谱法的特性也是“包袱”——当计算机下棋时,它们采用的是另一种抽象描述来代表棋子的位置,只涉及内存中0和1组成的特定模式。那么,当你剥离所有的“包袱”,还剩下什么呢?这些等价描述究竟在描述些什么呢?不朽对局本身,100%纯净,不含任何“添加剂”。
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包袱与数学结构
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我们对抽象的棋子、棋盘及其相互关系的研究,是一个更广泛的概念的例子,即数学结构。这是现代数理逻辑中的一个标准概念。我将在第11章给出一个更技术性的描述,但是现在,我们只需要这个非技术性定义就够了:数学结构是指一组相互关联的抽象实体。
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要理解它的含义,让我们来看几个例子。图9-7左图是一个拥有4个实体的数学结构,其中一些实体的关系是“喜欢”。在图中,名叫“菲利普”的实体用一张图片来代表,这张图片拥有许多内禀性质,比如棕色头发等。相比之下,数学结构中的实体是纯粹抽象的,这意味着它们并不具有任何内禀性质。也就是说,不管我们用什么符号来代表这些实体,都只是标签,而标签的性质无关紧要——为了避免将符号的性质赋予它们所代表的抽象实体,让我们把图片简化一下,得到中间的那张图。中图与左图是等价的,因为,如果你建立一个对应关系的“词典”,即菲利普=1,亚历山大=2,滑雪=3,滑冰=4,喜欢=R,那么所有的关系都保留下来了。比如,“亚历山大喜欢滑冰”被翻译为“2 R 4”,这个关系在中图中同样成立。
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图9-7 同一个数学结构的三个等价描述,数学家会称其为“4个元素的有序图”。每个描述中都包含一些任意的“包袱”,但是它们所描述的数学结构却是100%无“包袱”的:它的4个实体没有任何性质,除了它们之间的关系,而这些关系也没有任何性质,除了它们所连接的元素的有关信息。
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棋局可以单用符号来描述,而不用任何图形。数学结构也同样如此。比如,图9-7右图给出了前述数学结构的第三个等价描述,采用的形式是一个4×4的数表。在这个数表中,等于1的条目意味着,某个关系(“喜欢”)在该行对应的元素与该列对应的元素之间成立,所以,第1行第3列的“1”意思是“菲利普喜欢滑雪”。很显然,这个数学结构的等价描述可以有很多种,但是所有这些等价描述都只描绘了同一个,也是唯一一个独特的数学结构。总而言之,一个数学结构的任何特定描述都包含“包袱”,但这个结构自身却不包含。不要混淆数学结构和等价描述,这一点至关重要:对一个数学结构来说,即便是看起来最抽象的描述也不是结构本身;结构对应着所有等价描述组成的集合。表9-2总结了与数学宇宙理论有关的重要概念。
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表9-2 与数学宇宙有关的重要概念的总结
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对称性以及其他数学性质
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一些数学家喜欢争论什么是真正的数学。当然,在这个问题上,他们没有达成共识。不过,数学的一个流行定义是“对数学结构的正式研究”。在这方面,数学家们确定了大量有趣的数学结构,从我们很熟悉的东西,如立方体、二十面体(见图6-2)和整数,到拥有奇异名字的东西,如巴拿赫空间(Banach spaces)、轨形(orbifolds)和伪黎曼流形。
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数学家们在研究数学结构时,最重要的事就是证明与它们性质有关的定理。然而,既然数学结构的实体及其相互关系都不允许拥有任何内禀性质,那数学家们究竟在研究什么性质呢?
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