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如果两个描述之间存在一个保留了所有关系的对应性，那么这两个描述就是等价的。
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所有的语言、概念或符号，如果它们只出现在某些而非全部等价描述中，那么很显然，它们就是可有可无的，因此都是“包袱”。那么，如果我们想要深入至不朽对局的真正本质，到底要剥离掉多少“包袱”呢？很显然，答案是许多。因为计算机在下棋时可以不涉及任何人类的语言和概念（如颜色、材质、大小和棋子的名字）。要完全理解我们到底可以走多远，需要先对“等价”下一个严格的定义。
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象棋涉及抽象的实体（不同的棋子和棋盘上不同的方格）以及它们之间的关系。比如，棋子与方格的一种关系是前者在后者之上。还有一种关系是，棋子允许移动到某个方格。比如，在我们的定义中，图9-6中间的两幅图是等价的：三维的棋子棋盘和二维的棋子棋盘之间存在一个对应关系，不管三维的棋子位于哪个方格中，在二维棋盘中都能找到一个对应的棋子位于对应的方格中。同样，对棋子位置的纯英文描述与纯西班牙文描述是等价的——只要你有一本英文和西班牙文相对应的词典，你就可以将西班牙文的描述翻译成英文的描述。
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当报纸和网站在介绍棋局时，通常会采用另一种等价描述即所谓的“代数记谱法”（algebraic cless notation，见图9-6右一）。这种形式中，棋子并不是以文字或物体的形式呈现的，而是用单个字母（比如，象用B）来表示，而方格用一个代表列的字母和一个代表行的数字来表示。由于图9-6右图中对棋局的抽象描述与一段在实体棋盘上下棋的视频是等价的，所以，在后者中，所有不包含在前者中的描述都只是“包袱”——从棋盘的物理实体到棋子的形状、颜色的名称。甚至代数记谱法的特性也是“包袱”——当计算机下棋时，它们采用的是另一种抽象描述来代表棋子的位置，只涉及内存中0和1组成的特定模式。那么，当你剥离所有的“包袱”，还剩下什么呢？这些等价描述究竟在描述些什么呢？不朽对局本身，100%纯净，不含任何“添加剂”。
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包袱与数学结构
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我们对抽象的棋子、棋盘及其相互关系的研究，是一个更广泛的概念的例子，即数学结构。这是现代数理逻辑中的一个标准概念。我将在第11章给出一个更技术性的描述，但是现在，我们只需要这个非技术性定义就够了：数学结构是指一组相互关联的抽象实体。
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要理解它的含义，让我们来看几个例子。图9-7左图是一个拥有4个实体的数学结构，其中一些实体的关系是“喜欢”。在图中，名叫“菲利普”的实体用一张图片来代表，这张图片拥有许多内禀性质，比如棕色头发等。相比之下，数学结构中的实体是纯粹抽象的，这意味着它们并不具有任何内禀性质。也就是说，不管我们用什么符号来代表这些实体，都只是标签，而标签的性质无关紧要——为了避免将符号的性质赋予它们所代表的抽象实体，让我们把图片简化一下，得到中间的那张图。中图与左图是等价的，因为，如果你建立一个对应关系的“词典”，即菲利普=1，亚历山大=2，滑雪=3，滑冰=4，喜欢=R，那么所有的关系都保留下来了。比如，“亚历山大喜欢滑冰”被翻译为“2 R 4”，这个关系在中图中同样成立。
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图9-7 同一个数学结构的三个等价描述，数学家会称其为“4个元素的有序图”。每个描述中都包含一些任意的“包袱”，但是它们所描述的数学结构却是100%无“包袱”的：它的4个实体没有任何性质，除了它们之间的关系，而这些关系也没有任何性质，除了它们所连接的元素的有关信息。
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棋局可以单用符号来描述，而不用任何图形。数学结构也同样如此。比如，图9-7右图给出了前述数学结构的第三个等价描述，采用的形式是一个4×4的数表。在这个数表中，等于1的条目意味着，某个关系（“喜欢”）在该行对应的元素与该列对应的元素之间成立，所以，第1行第3列的“1”意思是“菲利普喜欢滑雪”。很显然，这个数学结构的等价描述可以有很多种，但是所有这些等价描述都只描绘了同一个，也是唯一一个独特的数学结构。总而言之，一个数学结构的任何特定描述都包含“包袱”，但这个结构自身却不包含。不要混淆数学结构和等价描述，这一点至关重要：对一个数学结构来说，即便是看起来最抽象的描述也不是结构本身；结构对应着所有等价描述组成的集合。表9-2总结了与数学宇宙理论有关的重要概念。
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表9-2 与数学宇宙有关的重要概念的总结
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对称性以及其他数学性质
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一些数学家喜欢争论什么是真正的数学。当然，在这个问题上，他们没有达成共识。不过，数学的一个流行定义是“对数学结构的正式研究”。在这方面，数学家们确定了大量有趣的数学结构，从我们很熟悉的东西，如立方体、二十面体（见图6-2）和整数，到拥有奇异名字的东西，如巴拿赫空间（Banach spaces）、轨形（orbifolds）和伪黎曼流形。
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数学家们在研究数学结构时，最重要的事就是证明与它们性质有关的定理。然而，既然数学结构的实体及其相互关系都不允许拥有任何内禀性质，那数学家们究竟在研究什么性质呢？
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让我们来看看图9-8左图所描述的数学结构。它的各个元素之间没有任何联系，所以，没办法将各个实体区分开来。这意味着，这个数学结构除了“基数”（cardinality，基数是指它所包含的实体的数量）外，没有任何性质。数学家将这个数学结构称为“8个元素的集合”，它唯一的性质就是拥有8个元素。真是一个无趣的结构！
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图9-8中间的图片描述了一个不同的、更有趣的数学结构，也拥有8个元素，但元素之间存在着关系。这个结构的其中一个描述说，它的元素是一个立方体的顶点，而关系则是相邻顶点之间的连线，也就是立方体的边。然而请牢记，不要将数学结构和描述混为一谈——数学结构自身不具备任何内禀性质，如大小、颜色、质地或组分，它只包含8个相互关联的元素，你可以选择将其理解为立方体的8个顶点。实际上，图9-8右图是该数学结构的另一个等价描述，却没有提到任何几何概念，如立方体、顶点和边。
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那么，既然这个数学结构的实体不具备任何内禀性质，那这个结构自身是否拥有什么有趣的性质呢（除了8个元素之外）？实际上，它真的有，即对称性！在物理学中，如果你将某物以某种方式变换一下，它还是保持原样，这就叫对称。比如，如果把你的脸左右镜像一下还是与以前一样，那么它就是镜像对称（mirror symmetry）的。同样，图9-8中图中的数学结构也是镜像对称的：如果你将元素1和2、3和4、5和6、7和8对调，它们的关系图还是和从前完全一样。它还具有某种旋转对称性（rotational symmetry）：如果你将立方体绕某一面旋转90°，或者绕一个顶点旋转120°，或者绕某一边的中心点旋转180°，它还是与从前保持一样。尽管我们直观地认为对称性与几何有关，但是当你看看图9-8右图时，你会发现，数表同样具有对称性——如果你用某些特定的方式为这8个元素重新编号后，再通过扩展行列数，对数表重新排序，你会发现，你得到了一个与从前完全相同的数表。
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在哲学上有一个著名的棘手问题，叫作“无穷后退问题”（infinite regress problem）。举个例子，如果我们说，一颗钻石的性质可以用碳原子的性质和排列来解释，碳原子的性质可以用它内部质子、中子和电子的性质和排列来解释，质子的性质可以用夸克的性质和排列来解释等，那么如果我们想要解释各个零件的性质，看起来注定要这样永远继续下去，无穷尽也。数学宇宙假说为这个问题提供了一个激进的解决办法——在最底层，实在是一个数学结构，所以它的各部件根本不具备任何内禀性质！也就是说，从这个意义上讲，数学宇宙假说暗示着我们居住在一个“关系实在”（relational reality）中，因为我们周遭世界的性质并不是来源于它的终极构件，而是来源于这些构件之间的相互关系[53]。这样看来，外部物理实在不仅仅是它各个构件的简单加总，因为它拥有许多有趣的性质，而它的基本构件却不具备任何内禀性质。
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图9-8 中图描述了一个拥有8个元素（用黑点来表示）的数学结构，元素之间有相互关系（用线表示）。你可以把元素理解为立方体的顶点，把关系理解为立方体的边，连接着相关联的顶点。但这个理解完全是一个可有可无的“包袱”。右图给出了同一个数学结构的等价描述，不包含任何几何图形，比如，第5列第6行的条目为“1”，意味着元素5和元素6之间的关系成立。这个数学结构拥有许多有趣的性质，包括镜像对称性和某些旋转对称性。与之相比，在左图描述的数学结构中，元素间没有任何关系，也不具备任何有趣的性质，除了它的基数为8。
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图9-7和图9-8中所画出的几个特定的数学结构都属于同一类数学结构，叫作“图”（graphs）——抽象的元素，其中一些两两相连。你可以用其他图来描述与图6-2中的十二面体等柏拉图多面体相对应的数学结构。还有一个图的例子是Facebook上的好友网络——其中，所有的元素对应着所有的Facebook用户，如果两个用户是好友关系，那他俩就相连。尽管数学家对图研究得很多，但它们只是数学结构众多类别中的其中一个。我们将在第11章对数学结构的各种细节进行更深入的探讨，但是现在，让我们先来看一些简单的例子，好让你了解数学结构是多么多样化。
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许多数学结构对应着不同种类的数字。比如，所谓的自然数1、2、3……一起组成了一个数学结构。这里的元素是数字，它们之间有着各种各样的关系。一些关系（比如等于、大于和除以）可能在两个数字之间成立（比如，“15除以5”），一些关系可能在三个数字之间成立（比如“17是12与5的和”），还有一些关系可能在其他数量的数字之间成立。渐渐地，数学家发现了更多种类的数字，它们都能形成自己的数学结构，比如整数（包括负整数）、有理数（包括分数）、实数（包括2的平方根）、复数（包括-1的平方根）和超限数（包括无穷大）。当我闭上眼，脑中想着数字5时，它看起来是黄色的。但是，在所有的数学结构中，数字本身都不具备任何内禀性质，它们唯一的性质就是与其他数字之间的关系。比如，5具有的一个性质是4与1的加和，但它不是黄色，也不是由任何东西制成的。
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还有一种数学结构对应着不同类别的空间。比如，我们学过的三维欧几里得空间就是一个数学结构。在这里，元素就是三维空间中的点，以及被理解为距离和角度的各种实数。还有各种各样的关系。比如，如果三个点位于一条直线上，那它们就能满足一个关系。还有许多数学结构，对应着四维甚至更高维度的欧几里得空间。数学家们还发现了许多其他更广义的空间，形成了它们自身的数学结构，比如所谓的闵氏空间（Minkowski spaces）、黎曼空间（Riemann spaces）、希尔伯特空间、巴拿赫空间和豪斯多夫空间（Hausdorff spaces）。许多人曾认为，我们的三维物理空间就是一个欧几里得空间。其实，正如我们在第1章中看到的那样，爱因斯坦终结了这种看法。他先是用狭义相对论提出，我们栖身在一个闵氏空间中（包含时间作为第四维度）。接着，他的广义相对论又提出，我们其实生活在一个黎曼空间中，因为它可以弯曲。然后，正如我们在第6章看到的那样，量子力学问世了。它告诉我们，我们其实居住在一个希尔伯特空间中。再次强调，这些空间中的点并不是由任何构件组成的，它们没有颜色、没有材质，也没有任何其他内禀性质。