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让我们更彻底一点：一些数学结构，完全摒弃了时间和空间，因此我们根本想象不出里面会发生什么事。图11-4所列举的大部分结构都是这种类型。在一个抽象的十二面体中，什么都不会发生，因为这个数学结构中不包含时间。
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图11-3 3D俄罗斯方块游戏FRAC体现了一个时空离散而非连续的数学结构。
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图11-4 计算机程序能自动生成一个有序的总览表，包含所有有限的数学结构。其中，每个结构都编码为一串数字。本图举了一些例子，采用了我2007年所发表的数学宇宙论文中的编码方案。第二列中的文字和图解则是冗余的包袱，反映了我们人类为这些结构所起的名字和所画的图示。
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我们在第四层多重宇宙中的“邮政编码”
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我们在第9章中讨论过，一个数学结构就是一组简单的抽象元素以及它们之间的关系。为了更系统地探索第四层多重宇宙，我们可以写一个计算机程序来自动生成一系列数学结构，从最简单的开始，循序渐进到愈发复杂的个体。图11-4展示了这种序列中的10个条目，采用了我2007年所发表的数学宇宙论文中的编码方案。编码的细节并不重要，但有一点需要注意：它有一个美好的特点，每个元素数量有限的数学结构都会出现在这个序列里的某个地方。所以，每个有限数学结构都能用一个数字来表示，也就是它在这个总览表中的行编号。
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扫码获取作者的论文，查看编码方案。
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对有限的数学结构来说，所有关系都能用有限的数表来描述，这种方法是从乘法表中归纳出来并推至其他关系的。如果一个结构的元素数量十分庞大，数表就会变得长篇累牍，从而产生极大的编码，序列往下拉不到底。然而，在这些大结构中，有少量体现出了优雅的简单性，使它们极易被描述。比如，一个数学结构的元素是整数：0、1、2、3……它们的关系是加法和乘法。如果为了详述它们的乘法关系而写下所有相乘的数对，这将形成一个庞大的乘法表。即使只写前100万个数字，也要画出一个100万行×100万列的巨大表格，包含着1万亿个条目。这将是一种巨大的浪费。所以，我们在教小学生乘法时，只需要把乘法表的前10个数字教给他们，然后教他们使用简单的运算法则来计算多位数乘法就可以了。比起小学生，我们教计算机算乘法的方法更有效——将数字转化为二进制，这样，我们只需要为0和1准备一张2×2见方的乘法表，再加上一个短短的程序，计算机就学会了如何计算任意大的数字。
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一个计算机程序是以一个由0和1组成的有限串（位串，bit string）存储起来的，也可解释为一个二进制的整数。这让我们可以用另一种方法来编码和列举图11-4中的数学结构，即对某一个数学结构，找出所有能描述它全部元素关系的计算机程序，并挑选出位串最短的那个，用其对应的二进制整数来代表这个数学结构。只要这种描述够简单，它就会出现在更靠近序列顶端的地方，即使它的元素很多，体积很庞大。复杂性理论（complexity theory）的先驱雷·索洛莫洛夫（Ray Solomonoff）、安德雷·科尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）和格里高利·蔡廷（Gregory Chaitin）将位串的算法复杂性（algorithmic complexity，或简称为复杂性）定义为：最短的完备描述的位长，例如输出那个位串的计算机程序。这意味着，用这种方法调整过的总览表是以数学结构的复杂性按照升序排列的。
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这种总览表的精妙之处在于，它也能处理那些拥有无限多元素的数学结构。比如，为了定义一个包含所有整数及其加法和乘法的数学结构，我们只需指定一个最短的程序，让它能读入任意大数，并运行加法和乘法就行——Mathematica软件和其他计算机代数软件包中都有这样的算法。涉及连续统上无限多个点的数学结构（如时空、电磁场和波函数），也能在计算机上用有限的数学结构来近似计算。实际上，我和我的同行们在实践中进行理论物理学计算时，就是这么做的。
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总而言之，要系统地描绘第四层多重宇宙的图景，可以用计算机列举数学结构，并研究它们的性质。假如有一天，我们真能确定我们宇宙的数学结构，就能用它在总览表中的序号来指代它。此时，我们将能第一次确定自己在整个物理实在中的“地址”，正如图11-5中那个异想天开的信封一样。地球上各个国家都有各自的方式来指定地址，比如，有的邮编全是数字，有的邮编包含字母，有的甚至根本不用邮编。同样，在多重宇宙中，你书写地址的方式也会随着数学结构的不同而发生变化：大多数平行宇宙既没有量子力学也没有暴胀，因此缺乏第一、第二和第三层平行宇宙，更没有行星；而其他宇宙，有可能包含着其他类型的平行宇宙，呈现出我们做梦都想象不到的样子。
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图11-5 为了确定我在整个物理现实中的准确地址，我需要列出我在第四层多重宇宙中的位置（即我的数学结构序号），我在第三层多重宇宙中的位置（即我在量子波函数中的分支），我在第二层多重宇宙中的位置（即我在暴胀后的哪一个泡泡中），我在第一层多重宇宙中的位置（即我的视界范围），以及我在这个宇宙中的位置。在这个例子中，我只列出了有限的数字。但每层多重宇宙中都可能存在着无限多个成员，这使得我的地址超级长，长到这个信封根本写不下。
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第四层多重宇宙的结构秘密
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研究第四层多重宇宙是一件有趣的事。如果我们用通俗的形式主义把数学定义为“对数学结构的研究”，那么对第四层多重宇宙的研究就应该是数学家的营生。像我这种相信数学宇宙假说的物理学家，研究它就相当于探索终极的物理实在，并寻觅我们在其中所处的位置。此外，从便利的角度来说，比起另外三个层级较低的多重宇宙，探索第四层多重宇宙更容易一些，甚至比探索我们自己的宇宙还简单，因为它不需要火箭和望远镜，仅仅需要计算机和思想就足够了！因此，我花了很多年的时间醉心于编写计算机程序，来演算这种数学结构的表格，以及我们刚刚讨论过的那些分类，并深深地乐在其中。
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在实际操作时，你会遭遇到巨量的冗余。许多不同的编程方法都能实现同一个计算，同样地，也有相当多等价的方法，能用数表来描述有限的数学结构，比如，各自对应着不同的元素排序和标记方法。数学结构和描述是等价的（见第9章），因此，每一个数学结构在总览表中都只会出现一次，并且是用它最短的那个等价描述来指代的。
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将任意两个数学结构的所有元素和关系组合起来，就可以得到一个全新的结构。总览表中的许多结构都是这种复合形式。在研究第四层多重宇宙的时候，理应忽略它们的存在。这是因为两部分之间并没有新的连接，这意味着，其中一部分中的自知观察者永远也不会意识到另一部分的存在，也不会受其影响，所以他完全可以表现得好像另一部分根本不存在一样，或者说，另一部分并不存在于他这部分数学结构中。唯一需要留心复合结构的情况是，如果它们都进入了测度问题的解中，改变了你被分配到不同数学结构中的概率。由于复合结构描述起来更加复杂，它们通常都位于总览表中很靠下的位置，比组成它们的部分都靠下，所以它们拥有更低的“测度”。实际上，对第四层多重宇宙中任意一个序号为有限数的结构来说，在总览表中极其靠下的位置，都存在一个完全由它自身组成的复合结构。
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尽管在第四层多重宇宙中，不同的数学结构之间并不以任何物理的方式连接在一起，但在元层面，它们之间依然有很多有趣的关系。比如，我们刚说到，某些数学结构可以是另外一些数学结构的组成部分。还有一个例子是，一个结构可以在某种意义上描述另外的结构——第一个结构中的元素可以对应着第二个结构中的关系，并且第一个结构中的关系可以描述当你把第二个结构中的关系组合起来时会发生什么事。从某种意义上说，图11-4中拥有24个关系的“立方体旋转”能被一个数学家称为“立方体旋转群”的数学结构描述，后者拥有24个元素，每个元素分别对应着让一个完美立方体看起来不变的24种可能的旋转方法。许多不同的数学结构都拥有这种立方体对称性，所以有人认为它们就是“立方体”。比如，有些结构的元素对应着立方体的面、角和边，还有一些结构的关系表征了旋转如何重新排列元素，或者哪些元素彼此相邻。
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局限：不可判定、不可计算和不可定义
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第四层多重宇宙有多大？首先我会告诉你，一共有无数多个无限的数学结构。我们刚说到，它们都可以被放入一个拥有数字序号的表格中，所以“无数多”的意思准确而言就是1、2、3……往下数不到头。那么，第四层多重宇宙到底包含着多少个数学结构，每一个数学结构又包含多少元素？我们看到，一些无限的结构也可以和有限的结构一起被定义和包含在总览表中，只需要用计算机程序来确定它们之间的关系就可以。然而，拥抱无穷大就仿佛打开了潘多拉的魔盒，从中飞出了无数的存在论问题。要明白这个，来考虑一个数学结构，它的元素是数字1、2、3……包含着下面列出的3种关系（函数），规则是：给定一个输入数字，根据下面列出的定义计算出一个新的数字。
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●P（n）：给定一个数字n, P（n）表示大于n的最小质数。
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