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●T（n）：给定一个数字n, T（n）表示大于n的最小的孪生质数（孪生质数是指一种质数，存在着一个与它只相差2的质数；11和13就是两个孪生质数的例子）。
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●H（m, n）：给定两个数字m和n，在包含着所有计算机程序的总览表中，如果输入n个比特时，第m个程序能够永远运行下去，那么H（m, n）就等于0；但如果程序会在有限步数后停止，则H（m, n）等于1。
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这个数学结构满足第四层多重宇宙的成员标准吗，或者说，它的定义是否还不够良好？第一个函数P（n）只是小菜一碟：我们很容易写出一个程序，一开始检查n后面的数字是不是质数，如果找到质数就自动停止。并且我们可以肯定地说，这个程序一定会在有限步骤后停下来，因为我们知道有无数多个质数——欧几里得在两千多年前就已经证明了这一点。所以P（n）就是一个被我们称为“可计算函数”（computable function）的例子。
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第二个函数T（n）很是狡猾：我们也可以轻松写出一个程序，来检查一下n后面的每个数字是不是一个孪生质数，但是，如果你输入的数字n大于375 680 169 568 52 666669-1（这是我写到此处为止，人类发现的最大质数[65]），没有人敢保证程序终将停下，并给出一个确定的答案。因为即使我们最天才的数学家付出了最大的努力，我们依然不知道是否有无数多个孪生质数。所以，迄今为止，我们并不知道T（n）是不是一个可计算函数，也不知道它是不是被严格定义的。这种拥有模糊关系的数学结构是否能被称为定义良好的数学结构呢？目前尚存争议。
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第三个函数H（m, n）更像是个“不法分子”。计算机科学先驱阿隆佐·邱奇（Alonzo Church）和艾伦·图灵（Alan Turing）认为，没有一个程序能在有限步骤内对任意的输入数字m和n计算出H（m, n），所以H（m, n）是一个所谓的“不可计算函数”（uncomputable function）的例子。换句话说，不存在一个程序能确定其他程序最终将终止。当然，任何一个程序都只有两种结局，要么停止，要么不停止，但是就像孪生质数的例子一样，你可能永远也不知道答案。邱奇和图灵对不可计算函数的发现与逻辑学家库尔特·哥德尔（Kurt G del）的另一个发现非常接近，即某些算术定理是不可判定的，意味着在有限步骤内无法证明它们是真是假。
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如果一个数学结构包含着像函数H这种连超强计算机也无法估量的关系，它还能被看作定义良好的吗？如果是这样，它的结构只能被某些圣人般的实体所认识，因为只有圣人才具备无限的能力，能进行无穷多步的计算以得到答案。这样的结构永远不会出现在我们前面曾讨论过的总览表中，因为总览表只涵盖了那些可用普通计算机程序定义的数学结构，而不包含那些需要无限神力才能定义的结构。
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最后，让我们来看看本时代最流行的数学结构之一，也就是所谓的实数，比如3.141 592……，它的小数位无穷无尽。它们组成了一个连续统。哪怕你只想详细写出其中一个数，也需要列出小数点后的无穷多个数字，那可是无穷多的信息。这意味着，传统的计算机程序要处理它们简直毫无希望。问题不仅在于要像函数H一样，用一个有限的输入进行无限步运算，还在于要输入和输出无穷多的信息。
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另外，哥德尔的研究还让我们担心数学宇宙假说由于涉及无限的数学结构而陷入毫无意义之境，因为我们的宇宙从某种意义上说是自相矛盾或定义不良的。如果你赞同数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）的名言“数学存在是摆脱了矛盾的自由”（mathematical existence is merely freedom from contradiction），那么，根据他的说法，不一致的结构根本不会存在于数学中，更不用说像数学宇宙假说所认为的那样，存在于物理世界中了。物理学标准模型涵盖了常见的数学结构，比如整数和实数。但是，哥德尔的研究开启了一个可能性，即日常使用的数学可能是不一致的，并且，数论本身中存在一个长度有限的使得0=1的证明。用这个惊人的结论，只要某个关于整数的论断在语法上是正确的，那它就能被证明为真，那么，我们所知的数学就会像纸牌屋一般坍塌。
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那么，数学宇宙假说是否被哥德尔不完备定理排除在外了呢？不，据我们目前所知，并没有！哥德尔告诉人们，不管一个形式系统多么强大，我们都无法用它本身来证明它的一致性，但这并不意味着它就是不一致的，也不意味着我们遇到了大麻烦。实际上，尽管我们的宇宙显露出了数学结构的线索，但并没有表现出任何不一致或定义不良的迹象。此外，我们期望看到什么呢？即使一个形式系统可以证明它本身的一致性，我们也无法确信它真的是一致的，因为一个不一致的系统可以证明任何事，包括它自身的一致性。相比之下，我们可能更容易相信，具备一致性的简单系统可以用来证明更复杂的系统的一致性。然而，不出所料，这是不可能的，哥德尔也证明了这一点。我和许多数学家都是好友，但我从未听过有人说现代物理学中主要的数学结构（如伪黎曼流形、卡拉比-丘流形、希尔伯特空间等）其实是不一致的。
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所有这些与不可判定性和不一致性有关的不确定性只能运用于元素数量无限多的数学结构。上一章中我们看到，困扰现代宇宙学的测度问题也只能运用于元素数量无限多的数学结构，这引出了一个恼人的问题：无穷大，不可判定性、潜在的不一致性和测度问题真的存在于终极物理实在的本质之中吗，抑或只是海市蜃楼、我们玩火的造物，或是一件用起来很方便的强大数学武器（比那些真正描述我们宇宙的东西更方便）？更具体地说，数学结构究竟要定义到什么程度，才能被称为真实，也就是成为第四层多重宇宙的成员？下面列出了一些有趣的可选范围：
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●没有结构（即，数学宇宙假说是错误的）。
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●有限的结构。这些结构很平凡，拥有可计算性，因为它们所有的关系都能通过查阅有限数表的方式定义出来。
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●可计算的结构（它们关系的定义来源于计算的终止）。
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●一种结构，它的关系由无法保证是否会终止的计算来定义（也许需要无数多步的计算过程），比如前面所说的函数H。
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●更加一般的结构，比如涉及连续统的结构，其中的典型元素都需要无限量的信息来描述。
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可计算宇宙假说
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其中一个有趣的可能性是可计算宇宙假说。也就是说，它的范围以上述第三个选项为限，更一般的结构不满足要求。
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可计算宇宙假说
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我们的外部物理实在是一个数学结构，该结构是由可计算函数来定义的。
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定义数学结构的关系（函数）可以用有限步骤后必定终止的计算来执行。如果可计算宇宙假说是错误的，那么，还有一个更加保守的假说，也就是以第二个选项为限的有限宇宙假说（Finite Universe Hypothesis, FUH），即我们的外部物理实在是一个有限的数学结构。
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我发现了一件很有趣的事情：正如我们上一章结尾所讨论过的那样，数学家们对密切相关的问题进行了激烈的争论，但这些争论中却丝毫没有提到物理学。数学家中的有限论学派包括利奥波德·克罗内克、霍尔曼·外尔（Hermann Weyl）、鲁宾·古德斯坦（Reuben Goodstein），他们认为一个数学对象必须能用整数在有限的步数内构建出来，才算存在，否则就不算存在。这种观点，其实就是前面提到的第三个选项。
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根据可计算宇宙假说，我们的物理实在是一个数学结构，这个数学结构拥有可计算的抽象性质，所以它的关系都是可计算的，从这个意义上说，它的定义就是良好的。这样，我们的宇宙中没有任何一个物理性质是不可计算/不可判定的，这就打消了由邱奇、图灵和哥德尔的研究所带来的顾虑，因为他们的研究认为我们的世界不完整或不一致。我并不知道我们的物理实在究竟拥有哪些性质，但我相信这些性质是存在的，因为它们的定义是良好的——我毫不怀疑大自然是否知道它自己在做什么！
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许多作家都很困惑，为何我们的物理定律看起来如此简单？比如，为什么粒子物理学标准模型拥有如此简单的对称性，我们称之为SU（3）×SU（2）×U（1），只需要第9章中提到的区区32个参数就可以了，而大多数替补方案却复杂得多？不难推测，或许正是因为可计算宇宙假说限制了大自然的复杂性，才造就了这种相对的简单性。通过抛却连续统，可计算宇宙假说也许还能帮助我们精简暴胀的宇宙图景，并解决上一章讨论过的宇宙学测度问题——测度问题很大程度上与连续统所造成的指数型拉伸有关，这种拉伸会永远进行下去，并创造出无穷无尽的观察者。
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这些都是好消息。尽管可计算宇宙假说拥有很多诱人的特征，比如，保证了我们的宇宙是严格定义的，或许还能通过限制事物的存在而缓解宇宙学测度问题，但它也将一些亟待解决的严峻挑战摆在了我们的面前。
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关于可计算宇宙假说的第一个顾虑就是，它听起来很像是对哲学高地的妥协，实际上是作出了让步：它承认，尽管所有可能的数学结构都“存在于某处”，但其中一些拥有特殊的地位。然而，我猜可计算宇宙假说如果真是正确的，那它的正确表述应该是：由于数学图景中的其他区域都只是幻觉，那么从根本上说，它们的定义不良，所以根本不存在。
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