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可计算宇宙假说
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我们的外部物理实在是一个数学结构，该结构是由可计算函数来定义的。
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定义数学结构的关系（函数）可以用有限步骤后必定终止的计算来执行。如果可计算宇宙假说是错误的，那么，还有一个更加保守的假说，也就是以第二个选项为限的有限宇宙假说（Finite Universe Hypothesis, FUH），即我们的外部物理实在是一个有限的数学结构。
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我发现了一件很有趣的事情：正如我们上一章结尾所讨论过的那样，数学家们对密切相关的问题进行了激烈的争论，但这些争论中却丝毫没有提到物理学。数学家中的有限论学派包括利奥波德·克罗内克、霍尔曼·外尔（Hermann Weyl）、鲁宾·古德斯坦（Reuben Goodstein），他们认为一个数学对象必须能用整数在有限的步数内构建出来，才算存在，否则就不算存在。这种观点，其实就是前面提到的第三个选项。
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根据可计算宇宙假说，我们的物理实在是一个数学结构，这个数学结构拥有可计算的抽象性质，所以它的关系都是可计算的，从这个意义上说，它的定义就是良好的。这样，我们的宇宙中没有任何一个物理性质是不可计算/不可判定的，这就打消了由邱奇、图灵和哥德尔的研究所带来的顾虑，因为他们的研究认为我们的世界不完整或不一致。我并不知道我们的物理实在究竟拥有哪些性质，但我相信这些性质是存在的，因为它们的定义是良好的——我毫不怀疑大自然是否知道它自己在做什么！
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许多作家都很困惑，为何我们的物理定律看起来如此简单？比如，为什么粒子物理学标准模型拥有如此简单的对称性，我们称之为SU（3）×SU（2）×U（1），只需要第9章中提到的区区32个参数就可以了，而大多数替补方案却复杂得多？不难推测，或许正是因为可计算宇宙假说限制了大自然的复杂性，才造就了这种相对的简单性。通过抛却连续统，可计算宇宙假说也许还能帮助我们精简暴胀的宇宙图景，并解决上一章讨论过的宇宙学测度问题——测度问题很大程度上与连续统所造成的指数型拉伸有关，这种拉伸会永远进行下去，并创造出无穷无尽的观察者。
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这些都是好消息。尽管可计算宇宙假说拥有很多诱人的特征，比如，保证了我们的宇宙是严格定义的，或许还能通过限制事物的存在而缓解宇宙学测度问题，但它也将一些亟待解决的严峻挑战摆在了我们的面前。
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关于可计算宇宙假说的第一个顾虑就是，它听起来很像是对哲学高地的妥协，实际上是作出了让步：它承认，尽管所有可能的数学结构都“存在于某处”，但其中一些拥有特殊的地位。然而，我猜可计算宇宙假说如果真是正确的，那它的正确表述应该是：由于数学图景中的其他区域都只是幻觉，那么从根本上说，它们的定义不良，所以根本不存在。
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还有一个更直接的挑战是，我们目前的标准模型（实际上包括了历史上所有成功的理论）都违反了可计算宇宙假说，并且，我们根本不知道是否存在一个有效的、可计算的替代方案。对可计算宇宙假说的违反主要来源于对连续统的体现。连续统大多是以实数或复数的形式，而实数或复数根本无法将输入限制在有限的计算之内，因为它们都需要无数多的比特来确定。甚至某些将时空离散化或量子化、以试图抛弃经典时空连续介质的方法，都倾向于在理论的其他方面保留连续介质变量，例如电磁场强度或量子波函数的振幅。
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面对连续统的挑战，有一种有趣的方法：用一个对连续统进行可计算仿真的数学结构来代替实数，例如数学家们所谓的“代数数”（algebraic numbers）。还有一种我认为很值得探索的方法，那就是从根本上放弃连续统，并尝试用近似值来还原。之前我曾提到过，物理学上，我们对物体的测量从来不会超过16位有效数字，也从未有一个实验的结果是取决于“连续介质真实存在”这一假说，或者说取决于大自然对那些不可计算之物的计算。令人惊讶的是，经典数学物理中的许多连续介质模型（例如描述波、漫射和液体流动的方程）其实都只是对一堆离散原子的近似计算。量子引力研究甚至暗示着，即使是经典的连续时空也会在非常小的尺度上分崩离析。
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因此，我们不能确定，那些我们仍以连续统来对待的量（如时空、场强和量子波函数振幅）是否只是对离散的近似计算。实际上，某些离散的可计算结构（实际上正是满足有限宇宙假说的有限结构）对连续介质物理模型的近似实在是太棒了，每次我们物理学家需要进行实际运算时，都会使用它们，这就留下了一个问题：我们宇宙的数学结构究竟是更像前者，还是更像后者呢？一些作者走得更远，如康拉德·楚泽（Konrad Zuse）、约翰·巴罗、尤尔根·施密特胡贝尔（Jürgen Schmidhuber）和斯蒂芬·沃尔夫拉姆（Stephen Wolfram），他们认为，大自然的定律不仅是可计算的，也是有限的，就像元胞自动机或计算机模拟。（然而请注意，这些理论与可计算宇宙假说和有限宇宙假说不同，因为它们认为一个结构要可计算，只需要时间演化[time evolution]，而不需要对关系的描述。）
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更有甚者，物理学中还有一些例子，让某些连续介质（如量子场）能产生出离散的解（就像一个晶格），于是在大尺度上看起来很像一种连续的介质，并像所谓的声子（一种离散粒子）那样振动。我在MIT的同事文小刚证明，这种“自然发生”的粒子的行为甚至可能与标准模型中的某些粒子很相似，带来了另一种可能性，或许，在一个终极的、连续的可计算结构之上，有着多层有效连续介质和离散描述。
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第四层多重宇宙的超越结构
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前面我们探索了数学结构和计算之间的密切关系：后者定义了前者。从另一个角度说，计算只是数学结构的特殊情况。例如，数字计算机的信息量（内存状态）是一个位串，比如“100 101 110 011 100 1……”，虽然很长，但长度依然是有限的，与某个虽大却有限的整数n的二进制形式是等价的。计算机信息处理是一个确定的规则，它将每个内存状态转变成另一个（一次又一次，周而复始），从数学上说，它只是一个将整数映射到自身的函数f，不停地迭代：n→f（n）→f（f（n））→……也就是说，即使是最精妙的计算机模拟也只是一个数学结构的特殊情况，因而包含在第四层多重宇宙中。
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从图11-6中可以看出，计算不仅和数学结构相互关联，二者还分别与形式系统（formal systems）相关联。数学家们在证明有关数学结构的定理时使用的公理和推理规则所组成的抽象符号系统，就叫作形式系统。图11-1中的方框就相当于这种形式系统。如果一个形式系统描述了一个数学结构，那么数学家们就说，后者是前者的一个模型（model）。此外，计算还能在形式系统中产生出定理（实际上，对某些种类的形式系统来说，存在一些可以计算所有定理的算法）。
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从图11-6中还可以看出，三角形的每个顶点都存在一些潜在的问题——数学结构可能包含不可定义的关系，形式系统可能包含不可判定的陈述，计算可能不会在有限步骤后终止。三者之间的复杂关系用图中6个箭头来表示。这些箭头涉及的学科范围很广泛，从数理逻辑到计算机科学，应有尽有，并且每个领域都有不同的专家进行过大量的研究。因此，整个三角形是跨学科的，我认为它值得更多的关注。
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图11-6 箭头指示出了数学结构、形式系统和计算之间的密切关系。中间的问号表示，这三者都是某种超越结构的一个方面，但这个结构的性质尚不为人所理解。
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我在三角形的中间画了一个问号，意思是说三角形的三个顶点（数学结构、形式系统和计算）都是某个基本超越结构的不同方面，而我们依然不理解这个结构的性质。这个结构（或许，依据可计算宇宙假说被限定在可定义的/可判定的/可终止的部分）以某种不含任何“包袱”的形式“存在于某处”，并且，在数学上和物理上都同时存在。
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第四层多重宇宙的启示
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本章到目前为止，我们已经论证了终极的物理实在就是第四层多重宇宙，并且已开始探索它的数学性质。现在，让我们来探索一下它的物理性质，以及第四层多重宇宙所带来的其他暗示。
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数学结构都拥有对称性
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如果我们将注意力转向总览表中某些特定的数学结构上（总览表可被看作第四层多重宇宙的地图集），那么，我们如何才能得知，其中自知的子结构将会如何感知该数学结构的物理性质呢？也就是说，一个无限聪慧的数学家要如何从它的数学定义开始，推演出第8章中提到的“共识实在”的物理描述呢[66]？
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我们在第9章论证过，这位数学家的第一步将会是计算这个数学结构拥有什么对称性。对称性，是几乎所有数学结构都拥有的少量性质之一，并且，它们将以对称的物理实体呈现在该结构的内部居民面前。
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那么接下来的第二步，他要计算些什么呢？摆在他面前的是一个从未有人探索过的纷繁结构，但我惊奇地发现，在我们所栖身的这个数学结构中，人们对于对称性的进一步研究仿佛打开了一个金矿，里面装满了闪闪发光的洞悉与智慧。1915年，德国女数学家埃米·诺特（Emmy Noether）证明，我们数学结构中的每一个连续的对称性都通往一个物理守恒定律，某些量会因此而永远守恒。自知的观察者注意到这种永恒性，并赋予它们一种“包袱”，也就是名字。我们在第6章讨论过的所有守恒量都对应着这样的对称性。比如，能量对应着时间平移对称性（即随着时间的推移，关于能量的物理定律保持不变），动量对应着空间平移对称性（即不管在空间中的哪一点，关于动量的物理定律保持不变），角动量对应着旋转对称性（即空荡的空间中不存在一个特殊的“上”方向），电荷对应着量子力学中一种特殊的对称。物理学家尤金·维格纳进一步发现，这些对称性还描述了粒子所拥有的所有量子性质，包括质量和自旋。也就是说，在二者之间，诺特和维格纳发现，至少在我们自己的这个数学结构中，对称性的研究揭示了哪些“东西”可以存在于其中。我的一些同行十分爱好数学术语，他们打趣地说，粒子只是“不可约对称群中的元素”。人们越来越清楚地认识到，几乎所有的物理定律都来自对称性。诺贝尔物理学奖获得者菲利普·安德森（Philip W.Anderson）甚至说：“说物理学家研究的是对称性，一点也不夸张。”