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图3.1：波是如何描绘电子从源运动到荧幕，以及如何被诠释为代表了电子前进路径的所有可能。从A到C再到E，以及从B到D再到F，是单个电子可能采取的无穷条路径中的两种可能。
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双缝实验建立了电子和波之间的关联，让我们看看我们能把这种关联建立得有多紧密。看看图3.1，暂时忽略掉A到E、B到F的连线，重点关注波浪。现在这张图描绘了一只水缸，而从左到右的波浪线就代表在水缸中翻滚的水波。想象一下，就在一块厚木板从水缸的左侧插入平静的水面，形成一股波浪时，我们拍下一张相片。此时得到的快照会显示出一列新形成的波从图片的顶部延伸到底部，而水缸其他位置的水面则保持静止。稍晚拍摄的第二张快照会显示出水波向狭缝移动，而波后面的水面保持平静。再过一会儿，水波穿过双缝，便生成了上述图中右边的条状干涉图案。
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现在我们把上一段文字再读一遍，并将“水波”都换成“电子波”，先不管这是什么意思。如果诠释得当的话，实验中如水波般翻滚的电子波，就有可能给我们希望理解的条状干涉图案一个解释。但还需要解释电子逐个击中荧幕后所形成的图案为何是由小点组成的。乍一看，这似乎与波的平滑性有冲突，但其实不然。高妙之处在于，如果我们不把电子波诠释成实际的物质分布（这正是水波的情形），而只是某种信息告知我们这个电子可能所处的位置，就能解释得通了。注意我们说的是“这个”电子，因为这列波描述的是单个电子的行为，这样才可能解释荧幕上点的由来。不要陷入误区，这是描述一个电子的波，而非由许多电子组成的一个波。如果我们想象一下这列波在某时刻的快照，则波浪的最高处就可以被诠释为电子最可能被找到的地方，而最低处就是电子最不可能被找到之处。当这列波最终到达荧幕时，荧幕上会闪现小点，告诉我们电子的位置。电子波唯一的作用，就是让我们能计算电子击中荧幕某特定位置的概率。如果不关心电子波到底“是”什么，则一切看起来都很直截了当，因为只要了解波的样子，我们就能知道电子可能在的位置。但当我们试图理解这个关于电子波的提案对于电子从狭缝到荧幕之旅到底有何深意时，好玩的事情就来了。
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在开始研究之前，我们或许应该再把上一段读一遍，因为它非常重要。这一段的含义很不直观，并非一目了然。要解释实验中所观察到的干涉图案，“电子波”的提案具备所有必要性质；但它还只是一个对于真相的猜测。作为优秀的物理学者，我们应该去论证这个猜测的结果，看看它们是否真的符合大自然的规律。
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回到图3.1，我们提议，在任何时刻，单个电子都由一列像水波那样的波描述。一开始，电子波在狭缝的左侧。这意味着在某种意义上，电子就位于波中的某处。过一会儿，当电子波像水波那样前进至狭缝，电子此时便位于新波中的某处。可以说，电子是“先位于A再运动到C处”，或者它“先位于B再运动到D处”，或者它“先位于A再运动到D处”，等等。先不要细想，等波穿过狭缝到达荧幕，我们再来看看。现在，电子可以在E或者也可能在F处被找到。我们在图中画出的曲线，表示的是电子从源运动到荧幕可能通过的两条路径。它可以从A到C再到E，或者从B到D再到F。以上只是单个电子可能采取的无穷条路径中的两种可能。
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关键之处在于，“尽管电子可以尝试每一条路径，但它实际上只走了其中一条”这句话并没有意义。如果说电子实际上只沿一条特定路径，就好比是在水波实验中封住了一条缝，这样并不会产生干涉水纹，也无助于理解电子干涉图案的形成。必须允许波从两边缝都通过，才能产生干涉图案；这意味着，在从源到荧幕的运动中，得允许电子通过所有可能的路径。换句话说，当我们说电子“在波中某处”时，意思其实是，电子同时位于波中所有的位置！这就是我们必须接受的思维方式，因为如果假设电子实际上位于某特定位置，则这列波将不再扩散，水波的类比就失效了；我们也就无法解释干涉图案了。
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或许应该再次重读上面的推理过程，因为它启发了下文的大部分内容。这不是在耍花招；我们在讨论的是，要描述一列扩散的波，同时它也是一个点状电子，那么一种实现的可能是，电子在从源到荧幕的运动中，会扫过所有可能的路径。
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我们可以从中得到启发：一列电子波，是在描述单个电子以无穷条不同运动路径，从源运动到荧幕。换句话说，“一个电子如何到达荧幕？”的正确回答是，“它运动在无穷条可能的路径上，有一些穿过这条狭缝，另一些穿过那条狭缝”。很明显，“这个”电子并非日常观念中的粒子，因此称之为量子粒子。
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在我们决定找到一种描述方式能从不同角度模仿波行为的电子之后，我们需要发展一套更精确的语言来讨论波。首先我们得能描述，水缸中两列波相遇、混合和彼此干涉的现象。为此，得找出更简易的方法来表示每列波峰与波谷的位置。在专业术语中，这叫作相位（phase）。简单来说，“同相”（in phase）有相互加强之意，而“异相”（out of phase）表示相互抵消。“相位”一词也用于描述月球：在其约28天的公转周期中，月球从新月逐渐盈为满月，再逐渐亏回新月，如此循环。英文中phase一词来自希腊文φάσις（拉丁文转写：phásis），意为天象的出现和消失，月亮明面的周期性显现和消失，似乎引出了phase一词在20世纪尤其是在科学中的一种用法，用于形容周期性的东西。这就为我们如何用示意图来表示水波峰谷的位置提供了一条思路。
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图3.2:月亮的相位
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对照图3.2，我们可以用一块只有一根指针的钟面来表示相位的变化[57]，这样就能用一周360度来形象地表示各种情形，例如12点、3点、9点方向，以及其间的任意位置[58]。在月球的例子中，你可以想象一下，用指针指向12点的方向表示新月，1点30分的方向表示眉月[59]，3点表示上弦月，4点30分表示盈凸月，6点表示满月，以此类推。在这里，我们是用抽象的数来描述具体的东西，也就是用钟面上的钟点来描述月相。在这种描述中，如果画一个指向12点的钟，我们立刻就可以知道它表示新月。尽管前面没有举这个具体的例子，但如果给出一个指向5点的钟，你也会知道月相正在接近满月。用抽象的图像或符号来表示真实的东西，是物理学的基础，这也是物理学者使用数学的根本目的。当能用简单的规则操控抽象的绘景，从而对现实世界做出坚实的预言时，这种方法的力量就体现出来了。一会儿就能看到，钟面就能让我们做出这种预言，因为用它就可以跟踪波峰和波谷的相对位置。反过来这也能让我们计算出不同的波在相遇时是会互相削弱还是增强。
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图3.3描绘了两列水波在某时刻的状态。波上每一点都用一块钟来描述。我们用12点表示波峰，6点表示波谷。在波峰和波谷之间的状态，就跟前面的月相一样，也可以用这两个时刻之间的钟点来表示。相邻的波峰或者相邻的波谷的间距是一个重要的量，叫作波的波长。
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图3.3中的两列波彼此异相，意味着上面一列波的波峰和下面一列波的波谷对齐，反之亦然。如此，当我们把两列波叠加在一起，它们会互相削弱；如果它们的振幅也相同的话，就能完全抵消。这在图的底部作出了说明，叠加的“波”是一条水平线。用钟的语言来描述的话，就是上面一列波以12点表示的波峰，全都和下一列波以6点表示的波谷对齐了。其实，在任何位置上，上面一列波的钟面指针都与下面一列波的指针完全相反。
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图3.3：两列被安排为可以完全抵消的波。上面一列波和下面一列异相，或者说波峰和波谷对齐，并且振幅相同。当两列波相加时，它们完全抵消，结果是没有波。如图片底部所示，“波”成为水平线。
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在这个阶段，用钟来描述波，似乎是小题大做了。确实，如果只是想把两列水波加起来，我们只需要把每列波的高度相加，完全不需要钟。对于水波这样说没错，但我们并不是执着于使用工具，引入这些钟自有原因。后面会很快看到，使用钟面来描述特别灵活，对于描述量子粒子是绝对必要的。
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记住这条以后，我们现在需要花一点时间，发明一套精确描述钟面读数的相加规则。把规则应用于图3.3的情形中，必须得出相“抵消”的结果，什么都不剩下。诸如12点抵消6点，3点抵消9点等。当然，这种完美抵消是两列波完全异相的特殊情形。我们要找到一套更通用的规则，用于描述任意形状、任意相位的两列波相加的一般规则。
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图3.4展示的是另外两列波。这次它们的对齐方式有所不同，一列波与另一列相比，只是相位略有偏置。我们还是用钟标记出了波峰、波谷及其中点。现在，上面一列波的12点与下面一列的3点对齐。接下来我们将要阐明这两列波相加的规则，就是平行移动一块钟的指针，使其头部与另一块钟的指针尾部重合。然后我们画一根新的指针，连接前一根指针的尾部和后一根指针头部，补齐三角形。这个方法的图解在图3.5中。新指针的长度与其他两者不同，并指向不同的方向；它可以放在新的钟面上，用来描述原来的两列波之和。
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图3.4：两列稍为偏置的波。上面一列波和中间一列波相加得到底部的波。
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现在我们可以更精确地用简单的三角函数来计算任意两块钟相加的结果。在图3.5中，我们把指向12点和3点的两块钟面加起来。假设原来的指针长1cm（对应波峰高为1cm的水波）。当两根指针首尾相接时，我们得到一个等腰直角三角形，腰长1cm。新指针长度就是三角形第三条边的长度，在三角函数中称为弦或斜边（hypotenuse）。根据勾股定理[60]，斜边的平方等于其他两边的平方和：h2=x2+y2。代入数值得到h2=(1cm)2+(1cm)2=2cm2。因此新指针的长度h就是2的平方根厘米，约1.414cm。那新指针指向什么方向呢？为此，我们需要知道三角形的一个内角，在图中以θ标出。对于这个两根指针等长，且一根指向12点，另一根指向3点的情况，也许你不借助三角函数也能算出来。斜边显然与直角边呈45度角，所以新的“时刻”是12点与3点的中间值，就是1点30分。这个例子是特殊情形，我们选定两块钟，使其指针成直角，并且长度相等，是为了简化计算。但是，这种方法显然是适用于计算出任意两块钟面相加所得的指针长度和钟点数。
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