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我们可以从中得到启发：一列电子波，是在描述单个电子以无穷条不同运动路径，从源运动到荧幕。换句话说，“一个电子如何到达荧幕？”的正确回答是，“它运动在无穷条可能的路径上，有一些穿过这条狭缝，另一些穿过那条狭缝”。很明显，“这个”电子并非日常观念中的粒子，因此称之为量子粒子。
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在我们决定找到一种描述方式能从不同角度模仿波行为的电子之后，我们需要发展一套更精确的语言来讨论波。首先我们得能描述，水缸中两列波相遇、混合和彼此干涉的现象。为此，得找出更简易的方法来表示每列波峰与波谷的位置。在专业术语中，这叫作相位（phase）。简单来说，“同相”（in phase）有相互加强之意，而“异相”（out of phase）表示相互抵消。“相位”一词也用于描述月球：在其约28天的公转周期中，月球从新月逐渐盈为满月，再逐渐亏回新月，如此循环。英文中phase一词来自希腊文φάσις（拉丁文转写：phásis），意为天象的出现和消失，月亮明面的周期性显现和消失，似乎引出了phase一词在20世纪尤其是在科学中的一种用法，用于形容周期性的东西。这就为我们如何用示意图来表示水波峰谷的位置提供了一条思路。
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图3.2:月亮的相位
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对照图3.2，我们可以用一块只有一根指针的钟面来表示相位的变化[57]，这样就能用一周360度来形象地表示各种情形，例如12点、3点、9点方向，以及其间的任意位置[58]。在月球的例子中，你可以想象一下，用指针指向12点的方向表示新月，1点30分的方向表示眉月[59]，3点表示上弦月，4点30分表示盈凸月，6点表示满月，以此类推。在这里，我们是用抽象的数来描述具体的东西，也就是用钟面上的钟点来描述月相。在这种描述中，如果画一个指向12点的钟，我们立刻就可以知道它表示新月。尽管前面没有举这个具体的例子，但如果给出一个指向5点的钟，你也会知道月相正在接近满月。用抽象的图像或符号来表示真实的东西，是物理学的基础，这也是物理学者使用数学的根本目的。当能用简单的规则操控抽象的绘景，从而对现实世界做出坚实的预言时，这种方法的力量就体现出来了。一会儿就能看到，钟面就能让我们做出这种预言，因为用它就可以跟踪波峰和波谷的相对位置。反过来这也能让我们计算出不同的波在相遇时是会互相削弱还是增强。
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图3.3描绘了两列水波在某时刻的状态。波上每一点都用一块钟来描述。我们用12点表示波峰，6点表示波谷。在波峰和波谷之间的状态，就跟前面的月相一样，也可以用这两个时刻之间的钟点来表示。相邻的波峰或者相邻的波谷的间距是一个重要的量，叫作波的波长。
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图3.3中的两列波彼此异相，意味着上面一列波的波峰和下面一列波的波谷对齐，反之亦然。如此，当我们把两列波叠加在一起，它们会互相削弱；如果它们的振幅也相同的话，就能完全抵消。这在图的底部作出了说明，叠加的“波”是一条水平线。用钟的语言来描述的话，就是上面一列波以12点表示的波峰，全都和下一列波以6点表示的波谷对齐了。其实，在任何位置上，上面一列波的钟面指针都与下面一列波的指针完全相反。
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图3.3：两列被安排为可以完全抵消的波。上面一列波和下面一列异相，或者说波峰和波谷对齐，并且振幅相同。当两列波相加时，它们完全抵消，结果是没有波。如图片底部所示，“波”成为水平线。
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在这个阶段，用钟来描述波，似乎是小题大做了。确实，如果只是想把两列水波加起来，我们只需要把每列波的高度相加，完全不需要钟。对于水波这样说没错，但我们并不是执着于使用工具，引入这些钟自有原因。后面会很快看到，使用钟面来描述特别灵活，对于描述量子粒子是绝对必要的。
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记住这条以后，我们现在需要花一点时间，发明一套精确描述钟面读数的相加规则。把规则应用于图3.3的情形中，必须得出相“抵消”的结果，什么都不剩下。诸如12点抵消6点，3点抵消9点等。当然，这种完美抵消是两列波完全异相的特殊情形。我们要找到一套更通用的规则，用于描述任意形状、任意相位的两列波相加的一般规则。
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图3.4展示的是另外两列波。这次它们的对齐方式有所不同，一列波与另一列相比，只是相位略有偏置。我们还是用钟标记出了波峰、波谷及其中点。现在，上面一列波的12点与下面一列的3点对齐。接下来我们将要阐明这两列波相加的规则，就是平行移动一块钟的指针，使其头部与另一块钟的指针尾部重合。然后我们画一根新的指针，连接前一根指针的尾部和后一根指针头部，补齐三角形。这个方法的图解在图3.5中。新指针的长度与其他两者不同，并指向不同的方向；它可以放在新的钟面上，用来描述原来的两列波之和。
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图3.4：两列稍为偏置的波。上面一列波和中间一列波相加得到底部的波。
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现在我们可以更精确地用简单的三角函数来计算任意两块钟相加的结果。在图3.5中，我们把指向12点和3点的两块钟面加起来。假设原来的指针长1cm（对应波峰高为1cm的水波）。当两根指针首尾相接时，我们得到一个等腰直角三角形，腰长1cm。新指针长度就是三角形第三条边的长度，在三角函数中称为弦或斜边（hypotenuse）。根据勾股定理[60]，斜边的平方等于其他两边的平方和：h2=x2+y2。代入数值得到h2=(1cm)2+(1cm)2=2cm2。因此新指针的长度h就是2的平方根厘米，约1.414cm。那新指针指向什么方向呢？为此，我们需要知道三角形的一个内角，在图中以θ标出。对于这个两根指针等长，且一根指向12点，另一根指向3点的情况，也许你不借助三角函数也能算出来。斜边显然与直角边呈45度角，所以新的“时刻”是12点与3点的中间值，就是1点30分。这个例子是特殊情形，我们选定两块钟，使其指针成直角，并且长度相等，是为了简化计算。但是，这种方法显然是适用于计算出任意两块钟面相加所得的指针长度和钟点数。
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图3.5：钟面相加规则。
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现在我们再来回顾图3.4。在新一列波的每一点上，我们都可以用刚才的算法，通过求原来的两块钟面之和，得到新钟面的指针长和钟点，继而得知那一处的波高。如果新的钟指向12点，答案很明显，波处于波峰，波高就是指针长。同样当新钟指向6点时，显然波就处于波谷，波的深度也等于指针长。另外如果钟指向3点或者9点时，因为指针垂直于12点方向，则波高为零。要直接计算任意钟点对应的波高，我们需要用指针长h，乘以指针与12点夹角的余弦。例如，3点与12点的夹角是90度，其余弦值为零，因此波高也为零。与之类似，1点30分与12点的夹角是45度，其余弦值为，因此波高约为指针长乘以0.707。如果你的三角函数知识不足以理解最后几句，大可以略过，这没有关系。这里重要的原理是：给出指针的长度和方向，就能计算出波高。只要你仔细地画好时钟，用尺子准确地测画出指针在12点方向上的投影，即使你不理解三角函数，也可以近似求解。（笔者明确建议，阅读本书的人不要按照这个方法做，因为学会正弦和余弦是有用的。）
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这就是钟面相加的规则。我们反复应用这个规则去计算图3.4中两列波任意对应点之和，结果看起来不错。
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图3.6：三块不同的钟，它们在12点方向上投影相同。
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在这种对水波的描述中，最重要的就是指针在12点方向的投影，它对应一个数值：波高。看看图3.6里的三块钟。它们都对应相同的波高，它们表示的是相同水波高度的等价方式。这就是为什么在描述水波时，钟其实并不是十分必要。但显然它们是不同的钟，在后面的篇章将会看到，在用它们描述量子粒子时这个区别很大；因为对量子粒子而言，指针长度（或钟的大小）具有非常重要的意义。
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在本书的某些地方，描述的事情会相当抽象，特别是目前阶段。为免陷入心烦意乱，我们需要登高望远。戴维孙、革末和汤姆孙实验发现的干涉图案，及其与水波实验的相似性，能启发我们做出拟设：应该用波来表示粒子，而波本身可以用很多钟面来表示。我们能想象电子波“像水波一样”传播，但我们尚未解释电子波到底是如何传播的，甚至水波的传播原理也没有解释。到目前为止，重要的是我们认识到用水波去类比，以及任何时刻的电子都可以用一列波来描述，而这列波可以像水波一样传播和干涉。在下一章我们会有更深入的认识，并且能更精确地表述：随着时间流逝，电子是如何运动的。在此过程中，我们将发现许多宝藏，包括海森伯著名的不确定性原理[61]（英文Uncertainty Principle）。
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