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我们回到图4.4中画出的钟群，但是这次的分析会更抽象，而不是使用具体的数。我们假设，钟群的大小等于Δx，而X到钟群中最近位置的距离是x。在此情形中，钟群大小Δx对应我们对粒子初始位置认识的不确定性；它从一个大小为Δx的区域出发。我们从点1也就是钟群中离X最近的位置开始，从这个点跃至X，对应的钟的旋转量为
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现在我们来考虑最远的点3。把钟从那里移动到X，它会转过更多的量，即：
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现在我们可以精确地阐述，钟从钟群中所有点传播到X，并且不抵消的条件：分别从钟1和钟3出发的钟，转动圈数之差应不小于一整圈，即：
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W3－W1＜一圈
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完整写下来就是：
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我们现在将考虑特殊情况，其中钟群的大小Δx远小于距离x。这就是说，我们希望粒子跃到远离其初始领域的地方。在这种情形中，从上一个式子中直接推出的钟不完全抵消的条件是：
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如果你懂一点数学，就能由打开括号项并忽略掉包含(Δx)2的所有项，得到这个结果。这是一个有效的近似，因为之前说过Δx和x相比非常小，而小量的平方是小上加小。
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这个式子就是在X处钟不完全抵消的条件。我们知道，如果在某处，钟不完全抵消，则很有可能会在那里找到粒子。因此我们发现，如果粒子在起初位于大小为Δx的钟群中，只要满足上述方程，则在t时间后，在与钟群相距x的较远位置找到粒子的机会不低。此外，这个距离随时间增加，因为它在式子中要除以t。换句话说，随着时间流逝，在距离初始位置更远处找到粒子的机会增加。这看似就像是粒子正在移动。还要注意到，在很远处找到粒子的机会也会随Δx减小（即随初始位置不确定性的减小）而增加。换句话说，我们将粒子固定得愈准确，它从初始位置移开得就愈快。现在这看起来很像是海森伯的不确定性原理。
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为了最终达成联系，我们来对方程变形。请注意，对于在t时间内离开钟群到达位置X的粒子，它必须跃过距离x。如果你真的在X处测量到粒子，就会自然得出结论，粒子运动的速度是x/t。还有，要记得质量乘以粒子的速度是其动量，所以mx/t就是测得的粒子动量。现在我们可以继续简化前式，得到：
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其中p是动量。这个方程可以变形成：
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pΔx＜h
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图4.5：一小群随时间扩大的钟，对应一个初始时在局域而随时间前行离域的粒子。
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而这个式子真的十分重要，值得进一步讨论，因为它看起来非常像海森伯的不确定性原理。
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数学部分暂告一段落，如果你没有用心跟上，应该能从这里重新跟上讨论。
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如果一个粒子从一个局域在大小为Δx的斑点内出发，则根据刚刚发现的结果，在一段时间后，粒子可以在大小为x的更大斑点内的任何位置被找到。图4.5描述的正是这种情形。精确地说，这意味着如果我们在刚开始时寻找粒子，则我们在内侧斑点内部找到的机会较大。如果没有测量，而是等一会儿，则稍后能在较大斑点内部某处找到它的机会较大。这就是说，粒子可以从初始的小斑点内的某处移动到较大斑点内的某处。它不一定非得移动不可，仍然有一定概率继续留在尺寸为Δx的较小区域中。但是测量很有可能显示，粒子已经移动到了较大斑点的边缘[109]。如果测量证实了这种极限情形，则我们会得出结论，粒子的动量由我们刚刚导出的式子给出（如果你没有跟上数学推导，只要相信这个结果就好），即p=h/Δx。
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现在，我们可以再次从头开始，将一切恢复如初，则粒子再次位于大小为Δx的较小初始斑点中。如果测量粒子，可能发现它位于较大的斑点内部某处，而不是在极限的边缘。我们会得出结论，粒子的动量比极限值小。