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[103]亚伯拉罕·派斯，1918年生于荷兰阿姆斯特丹，2000年卒于丹麦哥本哈根，荷兰物理学家和物理史学家。
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[104]在论文《关于光的产生和转变的一个启发性观点》中，发表在德文《物理年鉴》第322卷第6号第132—148页。
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[105]在诺贝尔奖官网上可以查到，1921年时没有提名者达到获奖条件；诺贝尔基金会依照章程，将当年奖项保留至次年。
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[106]德文原文可在S. Grundmann, Einsteins Akte, Springer, 2004一书中找到。
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[107]对于质量为m、在t时间内跃过x距离的粒子，如果粒子做匀速直线运动，则作用量为。但这并不意味着量子粒子在从此到彼的运动中走直线。钟的旋转法是这样获得的：将两点间粒子可能通过的每一条路径都关联上一块钟，并把它们加起来。最后能得到这个简单的结果，纯属巧合。例如，如果引入修正，使之与爱因斯坦的狭义相对论一致，那么钟的旋转法则就不这么简单了。（原书注）
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[108]一粒沙的典型质量是约1微克，就是一千克的十亿分之一。（原书注）
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[109]粒子甚至有机会，移动到比图中大斑点标处的“极限”更远的地方。但我们已经说明，这种情形下的钟趋于抵消。（原书注）
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量子宇宙 第五章 作为幻象的运动
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在上一章中，我们通过考虑钟群的一种特殊的初始排列，推导了海森伯不确定性原理——一小群钟，其中每一块的指针大小一样，指向相同。我们发现，这代表了一个近似静止的粒子，尽管量子规则意味着粒子会轻微振荡。我们现在要建立一组不同的初始构型，希望描述一个运动的粒子。在图5.1中，笔者画了钟的一组新构型。它还是一个钟群，对应起初位于钟附近的一个粒子。和以前一样，位置1的钟指向12点，但钟群里的其他钟现在都转过了不同的量。笔者这次画了五块钟，只是因为它让推理更明晰，尽管跟以前一样，得想象出五块钟之间的那些钟。在钟群所占据的空间内，这样的钟每个点上都有一块。跟以前一样，我们来应用量子规则，把这些钟移到离钟群很远的位置X，以描述粒子能从钟群跃至X的多种方式。
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下面这段推导过程，笔者希望变得愈发常规。我们来把钟从位置1传播到X，并转动指针。它会转过的量是：
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现在我们来把钟从位置2传播到X。它稍微远一点，比如说更远的距离是d，则转过的量也多一点：
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图5.1：初始钟群（由标记为1到5号的钟表示）由不同示数的钟组成——它们和邻居相比指针都移动了3小时。图下半部分展示的是钟群里钟的时间随位置的变化。
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这和我们在前一章做的一样，但也许你已经能发现对于钟的这种新初始构型会发生不一样的事情。我们设定，让钟2初始时比钟1顺时针多转动3小时——从12点转到3点。但是在把钟2带至X点的过程中，须将其逆时针转动得比钟1多一点，这对应它多运动的距离d。如果我们巧妙安排，使得钟2的初始顺时针转动量，与其抵达X时多出来的逆时针转动量相等，则它抵达X时会与钟1的示数完全一样。这意味着，移动后的钟2不会与钟1抵消，而是与之相加得到更大的钟，这就意味着在X处找到粒子的概率很大。这和在开始时让所有钟示数相同的量子发生“量子干涉的狂欢”完全不同。我们来考虑钟3，它和钟1相比转过了6小时。这块钟在抵达X时会额外移动2d的距离。同样，因为初始时间的偏置，这块钟抵达时会指向12点。如果我们用相同的方式偏置所有的钟，那这种结果就会发生在钟群中的所有钟上，它们在X处会相长地相加起来。
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这意味着，稍后粒子在X处被找到的概率很大。显然，位置X有其特殊性，因为钟群中的所有钟都合谋在那里指向相同的时间。但是X不是仅有的特殊点：所有在X左侧、距离与原钟群长度相同的位置，都具有让所有钟相长相加的性质。要看出这一点，注意我们可以把钟2移动到X左侧距离d的位置。这相当于将其从原位置向右移动x的距离；这和我们把钟1移至X的移动距离一样。下面可以把钟3移动x+d的距离到相同的位置，这和之前钟2的移动距离一样。因此，这两块钟都到达x时的读数应该相同，会相长相加。我们可以对钟群中所有的钟都如此移动，直到到达X左侧和原始钟群的大小相同的距离，即d。在这片特殊区域之外，钟大体抵消，因为它们不能继续免受于常规的“量子干涉的狂欢”[110]。诠释很明确：钟群在移动，如图5.2所示。
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图5.2：钟群以恒定速度向右运动。这是因为，原始钟群里的钟如正文中描述的那样有相对旋转。
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这个结果令人惊喜。通过偏置初始钟群里的钟，而不是让它们指向相同方向，我们就做到了对运动粒子的描述。奇妙的是，我们也可以将偏置过的钟和波的行为联系起来。
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回忆一下，我们在第二章中引入了钟，是为了解释粒子在双缝实验中的类波行为。回顾一下第三章的图3.3。那里我们画出了描述一列波的钟的排列方式。它就像是我们移动钟群的排列方式。在图5.1中，笔者在图下方用跟以前完全一样的方法画出了对应的波：12点表示波峰，6点表示波谷，3点和9点表示波高为零的位置。