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和我们可能期待的一样，运动粒子的表现似乎和波有关。波具有波长，这对应显示钟群里相同时间的钟的距离。笔者在图中也写下了这个量，记作λ。
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现在我们可以计算，要使相邻的钟相长相加，位置X应该距离钟群多远。这会将我们引至量子力学中的另一条非常重要的结论，并使量子粒子和波之间的联系更加明确。下面会用更多一点的数学。
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首先，我们需要写下，由于到X更远，钟2比钟1多转过的圈数。利用本章前文中的结果，这个数是：
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这式子你或许也能自己得出来，只需乘出括号并扔掉d2项，因为钟之间的距离d和原来钟群到位置X的距离x相比非常小。
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让这些钟在移动后读数相同的判据也能直观写下；我们想让钟2由于传播带来的额外转动，被初始的顺时针转动精确抵消。例如，在图5.1里，钟2的额外转动是1/4，因为我们将其顺时针转过了1/4圈。类似地，钟3的转动是1/2，因为我们将其转过了1/2圈。用符号表示，可以把两块钟之间的转动圈数一般地表示为d/λ，其中d是钟的间距，而λ是波长。如果你还没有看出来，只需想想两块钟的间距等于波长的情形，则d=λ，因此d/λ=1，也就是一整圈，而两块钟的读数一样。
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综合以上，我们可以说，要使两块相邻的钟在X处读数相同，需要让初始时钟的额外转动，等于由于传播距离不同带来的额外转动：
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像以前一样，注意到mx/t是粒子的动量p，就能简化这个式子。稍为整理就能得到：
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这个结果足够重要，值得命名。它由法国物理学家路易·德布罗意[111]（Louis de Broglie）于1923年9月首次提出，所以命名为德布罗意关系（de Broglie equation）。说它重要，是因为它将波长与已知动量的粒子关联起来。换句话说，它表达了通常分别归于粒子和波的两种性质——动量和波长之间的密切联系。如此，量子力学的波粒二象性（wave-particle duality）就从我们对钟的处理中浮现出来。
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德布罗意关系是观念上的一大飞跃。在原始论文中他写道：一切粒子，包括电子，都应具有“虚构的关联波”；通过单缝的电子流“应该有衍射现象”[112]。在1923年，他的论文还只是理论推测，因为直到1927年，戴维孙和革末才用电子束观察到干涉图案。在大约同一时间，爱因斯坦使用不同的推理方式做出了类似德布罗意的提案。这两项理论结果是薛定谔发展其波动力学的催化剂。在薛定谔提出同名方程的前一篇论文中，他写道：“这意味着除了严肃对待德布罗意-爱因斯坦关于运动粒子的波动理论，别无他法。”
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通过观察减小波长，我们可以对德布罗意关系得到更多的认识。这相当于增加相邻钟之间的旋转量。也就是说，我们将减小读数相同的钟之间的距离。这意味着，必须增加距离x，以补偿λ的减小。换句话说，位置X需要更远，才能“撤销”额外的旋转。那就对应移动更快的粒子：更小的波长对应更大的动量，而这正是德布罗意关系所说的。我们从一列静止的钟开始，“推导”出了普通的运动（因为钟群随时间平滑运动）。这真是一个可爱的结果。
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量子宇宙 波包
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现在我们要回到本章早先跳过的一个重要问题。我们说过，初始钟群整体运动到X点附近，但只是大致保持其原始构型。作者这个相当不精确的说法，到底是什么意思？这个问题的答案会给出与海森伯不确定性原理的关联，以及进一步见解。
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我们一直在用描述一块钟群的变化，来代表一个会在空间中一个小区域内某处被找到的粒子。在图5.1中，这就是五块钟所跨越的区域。像这样的钟群被称为波包（wave packet）。但我们已经看到，将粒子禁闭在空间中的某区域内会产生的后果。我们不能避免一个局域粒子得到海森伯之踢（也就是其动量不确定，因为它是局域的）；随着时间流逝，这会导致粒子“渗漏”出其起初所在的区域。这个效应在所有钟的示数都相同时存在，而在钟群移动的情形中也是。它使波包倾向于扩散，就像静止粒子随时间扩散一样。
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如果等足够久，对应于移动钟群的波包会完全解体；我们将失去预测粒子位置的能力。这显然会影响到对粒子速度测量的尝试。我们来看看结果会怎样。
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测量粒子速度的一个好方法是，在两个不同的时刻测量其位置。之后就能通过用粒子运动的距离，除以两次测量间隔的时间，得到速度。然而，根据我们刚才所说，这看似是一件危险的事。因为如果对粒子位置的测量过于精确，则有压缩其波包的可能，这就会改变它后续的运动。如果我们不想给粒子一个显著的海森伯之踢（即明显的动量改变，因为我们让Δx变得过小），就得确保位置测量足够模糊。当然，模糊本身是一个模糊的术语，所以我们来把它变得不那么模糊。如果使用能以1微米准度探测粒子的粒子探测器，而波包的宽度是1纳米，则探测器对粒子的影响不会太大。读数的实验者对探测器1微米的分辨率可能感到很满意，但从电子的视角来看，探测器不过是汇报给实验者，粒子在某个巨大的盒子里，大小是实际波包的1000倍。在这种情况下，测量过程引入的海森伯之踢，和波包本身有限的大小相比很小。这就是我们说“足够模糊”的意思。
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图5.3：两个不同时刻的同一个波包。随着时间前行，波包向右运动并展宽。波包是运动的，因为组成波包的钟彼此之间有相对旋转（德布罗意关系）；由于不确定性原理，它也是扩散的。波包的形状不很重要，但是为完整起见，我们应该说，波包大的地方钟也更大，而波包小的地方钟也小。
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我们在图5.3中绘出了上述情形，并标出了波包的初始宽度d以及探测器的分辨率Δ。我们还画出了稍后时刻的波包；它要稍微宽一点，宽度是d’，比d大。波包的峰在一定时间间隔t内以速度v运动了一段距离L。笔者提前道个歉，如果这些龙飞凤舞的特定套路，勾起了你记忆深处的校园岁月：坐在污渍斑驳的木桌后面，随着科学老师的声音渐渐消失在暮冬午后的暗淡天光中，你也陷入了不合时宜的午睡。我们搞得满身粉笔灰，是有原因的。希望本节的结论，比起年轻时飞来的板擦，能更有效地使你激灵起来。