1700922871
1700922872
1700922873
1700922874
1700922875
图6.1：六连拍水缸中水的驻波。时间从左上到右下依次前进。
1700922876
1700922877
一般来说，波是很复杂的。想象跳入一个灌满水的游泳池。纷乱的水波漾开，似乎任何想用简单方式来描述这种状况的尝试都是徒劳。然而，隐藏在复杂性的背后是简单性。关键之处在于，水是封闭在泳池中的，这也意味着所有的波都陷在泳池中。这产生了一种称为“驻波”（standing wave）的现象。当我们跳入泳池扰乱水面时，驻波隐藏在纷乱的水波中；但有一种办法可以让水波以规律、重复的驻波模式振动。图6.1展示了水面经历这样的一周振荡是什么样子。波峰和波谷此起彼伏，但最重要的是它们在完全相同的位置上升和下降。也有其他的驻波，包括水缸中央的水有节奏地上升和下降。我们通常不会看到这些特殊的波动，因为它们很难产生；但关键之处在于，任何水面的扰动——就算是由我们粗劣的跳水以及随后四处戏水所造成的——都可以表现为不同驻波的某种组合[121]。我们以前见过这种行为；这直接归纳了上一章中遇到的傅里叶观点。在那里，我们看到任何波包都可以由一些波长确定的波所组成。这些代表具有确定动量的粒子态的特殊的波是正弦波。在受限水波中，这种观念可以广泛应用：任意的扰动都总能由某种驻波的组合来描述。在本章后面会看到，驻波在量子理论中具有重要的诠释；事实上，驻波是理解原子结构的关键。记住这一点，我们来更详细地探讨它们。
1700922878
1700922879
1700922880
1700922881
1700922882
图6.2：吉他弦能容纳的三种波长最长的波。波长最长的波（顶端）对应最低谐波（基频），其他的对应高阶谐波（泛音）。
1700922883
1700922884
图6.2展示了大自然中驻波的另一个例子：吉他弦上三种可能的驻波。在拨动吉他弦时，我们听到的音通常由最大波长的驻波主导，也就是图中所示的三列波中的第一列。这在物理学和音乐学中都称为“最低谐波”（lowest harmonic）或者“基频”（fundamental）。其他波长的波也很常见，它们称为泛音（overtone）或者高阶谐波（higher harmonic）。图中的其他波是两列波长最长的泛音。吉他这个例子不错，因为要看出吉他弦为什么只能以这三种特殊波长振动，这很简单。这是由于弦的两端都被固定住了：一端固定在吉他琴桥上，另一端被手指按在琴格上。这意味着琴弦在两个端点处不能运动，而这就决定了允许的波长。如果你弹奏吉他，就会直观地了解其中的物理：当手指在指板上向靠近琴桥的琴格移动时，琴弦长度减小，迫使其以越来越短的波长振动，对应更高的音。
1700922885
1700922886
最低谐波只有两个稳定点，又称波节；除了两个固定的端点，波的任何位置都在运动。从图中可以看到，这个音的波长是弦长的两倍。次长的波长等于弦的长度，因为在弦的中央可以加上一个波节。接下来，我们可以得到波长等于2/3弦长的波，以此类推。
1700922887
1700922888
一般情况下，就像束缚在泳池中的水一样，弦会以不同的驻波组合振动，取决于如何拨弦。弦的实际形状总是可以由对应存在的每列谐波的驻波相加而来。谐波及其相对的振幅大小，使得声音具有其音色。不同的吉他有不同的谐波分布，因此音色也不同；但一把吉他上的中央C（纯谐波）和另一把上的中央C的音高总是相同的。对于吉他，驻波的形状非常简单：它们是纯粹的正弦波，波长由琴弦的长度决定。对于泳池，如图6.1所示，驻波更为复杂，但观念是完全一样的。
1700922889
1700922890
你可能会困惑，为何这些特殊的波被称为“驻波”。这是因为，这些波的形状从不改变。如果我们拍下以驻波振动的吉他弦的两张照片，则它们的区别将只在于波的整体大小。波峰总是在同一处，而波节也是，因为它们由琴弦端点的位置决定；在泳池的例子中，它们由池壁决定。在数学上，我们可以说，两张照片中的波只相差一个整体的乘积因子。这个因子随时间而周期性变化，表达出了琴弦的有节奏振动。对于图6.1中的泳池也是如此，每张照片由一个乘积因子同其他照片之间联系起来。例如，最后一张照片，可以通过将第一张照片中的波高乘以－1得到。
1700922891
1700922892
小结一下，以某种方式束缚的波，总能被表达成驻波（不改变形状的波）的组合。我们之所以投入这么多时间去了解它们，有很充分的理由。最重要的理由是，驻波是量子化的。对于吉他弦上的驻波，一切清晰明了：基频的波长是弦长的两倍，而允许的次长波长等于弦长。不存在波长位于这两者之间的驻波，因此我们可以说，吉他弦上允许的波长是量子化的。
1700922893
1700922894
由此可知，如果陷住波就会有什么东西被量子化。在吉他弦的例子中，量子化的显然是波长。对于盒中电子的情形，与电子对应的量子波也是被陷住的。类比可知，一些东西会被量子化，所以应该期望只有特定的驻波会出现在盒子里。其他类型的波不可能存在，就像无论怎么拨动，一根吉他弦都不可能同时弹出一个八度（octave）的所有音。而就和吉他的乐音一样，一般的电子态也由驻波态的混合来描述。这些量子驻波开始变得有意思了；受此鼓舞，我们来恰当地分析一番。
1700922895
1700922896
要取得进展，我们必须明确用来放置电子的盒子的形状。简便起见，我们假设电子可以在一个大小为L的区域内自由跳跃，但完全禁止它游荡出这个区域。我们本不需要说明准备如何禁止它游荡出去——但如果这是一个简化的原子模型，则我们应该想象，由带正电荷的原子核施加的力负责束缚住电子。在术语中，这叫作“方阱势”（square well potential）。图6.3画出了这种情况；命名的原因应该是显而易见的。
1700922897
1700922898
1700922899
1700922900
1700922901
图6.3：陷在方阱势中的电子。
1700922902
1700922903
将粒子束缚在势中的观念非常重要，后文还要使用；因此我们要准确理解它的含义，这会非常有用。我们究竟是如何陷住粒子的？这个问题相当复杂；要彻底弄清楚它，需要了解粒子是如何与其他粒子相互作用的，这是第十章的内容。尽管如此，只要不问过多的问题，我们还是可以取得进展。
1700922904
1700922905
在物理学中，“不要问太多问题”是一项必要的技能，因为不存在完全孤立的物体体系，我们必须在某处画下界线，才有可能回答一些问题。如果我们想了解一台微波炉如何工作，就应该无需担心外面经过的车流，这看似毫无问题。但车流对微波炉的运转还是会有微小影响的，它带来空气和地面振动，使微波炉轻微摇晃。还可能有杂散的磁场，无论屏蔽得多好，都会影响微波炉内部的电子元件。忽略一些事情时有可能因为错过一些关键细节而犯错的。在这种情况下，我们就会得到错误的答案，不得不重新考虑假设。因此所有的假设都要通过实验来验证或否定，这非常重要，也是科学成功的核心。大自然才是仲裁者，而非人类的直觉。这里，我们的策略是忽略陷住电子的机制细节，并建立名为势的模型来研究它。“势”这个词，实际上只是说“由于某些物理或其他原因对粒子产生的效应，但我懒得仔细解释”。后面会对粒子的相互作用详加描述，但现在我们将用势的语言来讨论。如果这听起来有点漫不经心，让我们举例说明势在物理学中是如何应用的。
1700922906
1700922907
1700922908
1700922909
1700922910
图6.4：位于谷底的球。粒子接触地面的海拔高度，直接正比于粒子在四处滚动中所感到的势。
1700922911
1700922912
图6.4展示了一个陷在谷中的球。如果踢小球一脚，它就能滚上山坡，但仅此而已，它之后就会重新滚下来。这是一个很好的例子，说明粒子被势陷住了。在本例中，地球的重力场产生了势，而陡峭的山坡形成了陡峭的势。显然我们可以算出球如何在山谷中来回滚动的细节，而不必知道谷底如何与球相互作用的详情；为此我们得了解量子电动力学的理论。如果事实证明，球中原子和谷底原子相互作用的细节对球运动的影响太大，我们就会作出错误的预测。实际上，原子间的相互作用的确重要，因为这会产生摩擦力；但也可以不用费曼图对摩擦力建立模型。我们跑题了。
1700922913
1700922914
这个例子非常形象，因为我们可以具体地看到势的形状[122]。但这种观念是普遍的，也适用于重力和山谷以外其他来源产生的势。一个例子就是陷在方阱中的电子。与谷中球的情形不同，阱的壁高并不是任何东西的实际高度；相反，它表示点要从阱中逃逸需要达到的速度。对于山谷的情形，这就类似于让球滚得足够快，使其能爬上山壁并离开山谷。如果电子移动得足够缓慢，则势的实际高度就无关紧要，我们可以放心地假设，电子就束缚在阱的内部。
1700922915
1700922916
我们现在来把注意力集中在一个电子身上，它陷在由方阱势描述的一个盒子里。由于它无法逃出盒子，量子波必须在盒子的边缘衰减为0[123]。那么，波长最长的三种可能的量子波，就完全类似于图6.2所示的吉他弦波：最长的波长是盒子大小的2倍，即2L；次长的波长等于盒子的大小，即L；下一个波长是2L/3。一般来说，我们可以将波长为2L/n的电子波放在盒子里，其中n=1,2,3,4，等等。
1700922917
1700922918
因此，具体对于方盒来说，电子波和吉他弦上的波的形状完全一样；它们是一组具有特定允许波长的正弦波。现在我们可以引用上一章中的德布罗意关系，继续将这些正弦波的波长与电子动量通过p=h/λ联系起来。在此情形中，驻波描述的电子只允许具有特定的动量，由公式p=nh/(2L)给出，我们所做的只是将允许的波长代入到德布罗意关系中。
1700922919
1700922920
这样，我们就证明了方阱中电子的动量是量子化的。这是个重磅结论。然而，我们确实得小心一点。图6.3中的势是一种特殊情形；对于其他的势，驻波通常不是正弦波。图6.5展示了一面鼓上的驻波。鼓皮上撒了沙子，后者聚集在驻波的波节处。因为包围振动鼓皮的边界是圆形而非方形，驻波不再是正弦波[124]。这意味着，一旦我们转而研究电子被质子陷住的更现实情形，它的驻波将同样不是正弦波。反过来，这意味着波长和动量的联系也不在了。那么，该如何诠释这些驻波呢？对于陷住的粒子，如果不是动量，那一般来说，又是什么被量子化了呢？