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1700922875 图6.1:六连拍水缸中水的驻波。时间从左上到右下依次前进。
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1700922877 一般来说,波是很复杂的。想象跳入一个灌满水的游泳池。纷乱的水波漾开,似乎任何想用简单方式来描述这种状况的尝试都是徒劳。然而,隐藏在复杂性的背后是简单性。关键之处在于,水是封闭在泳池中的,这也意味着所有的波都陷在泳池中。这产生了一种称为“驻波”(standing wave)的现象。当我们跳入泳池扰乱水面时,驻波隐藏在纷乱的水波中;但有一种办法可以让水波以规律、重复的驻波模式振动。图6.1展示了水面经历这样的一周振荡是什么样子。波峰和波谷此起彼伏,但最重要的是它们在完全相同的位置上升和下降。也有其他的驻波,包括水缸中央的水有节奏地上升和下降。我们通常不会看到这些特殊的波动,因为它们很难产生;但关键之处在于,任何水面的扰动——就算是由我们粗劣的跳水以及随后四处戏水所造成的——都可以表现为不同驻波的某种组合[121]。我们以前见过这种行为;这直接归纳了上一章中遇到的傅里叶观点。在那里,我们看到任何波包都可以由一些波长确定的波所组成。这些代表具有确定动量的粒子态的特殊的波是正弦波。在受限水波中,这种观念可以广泛应用:任意的扰动都总能由某种驻波的组合来描述。在本章后面会看到,驻波在量子理论中具有重要的诠释;事实上,驻波是理解原子结构的关键。记住这一点,我们来更详细地探讨它们。
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1700922882 图6.2:吉他弦能容纳的三种波长最长的波。波长最长的波(顶端)对应最低谐波(基频),其他的对应高阶谐波(泛音)。
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1700922884 图6.2展示了大自然中驻波的另一个例子:吉他弦上三种可能的驻波。在拨动吉他弦时,我们听到的音通常由最大波长的驻波主导,也就是图中所示的三列波中的第一列。这在物理学和音乐学中都称为“最低谐波”(lowest harmonic)或者“基频”(fundamental)。其他波长的波也很常见,它们称为泛音(overtone)或者高阶谐波(higher harmonic)。图中的其他波是两列波长最长的泛音。吉他这个例子不错,因为要看出吉他弦为什么只能以这三种特殊波长振动,这很简单。这是由于弦的两端都被固定住了:一端固定在吉他琴桥上,另一端被手指按在琴格上。这意味着琴弦在两个端点处不能运动,而这就决定了允许的波长。如果你弹奏吉他,就会直观地了解其中的物理:当手指在指板上向靠近琴桥的琴格移动时,琴弦长度减小,迫使其以越来越短的波长振动,对应更高的音。
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1700922886 最低谐波只有两个稳定点,又称波节;除了两个固定的端点,波的任何位置都在运动。从图中可以看到,这个音的波长是弦长的两倍。次长的波长等于弦的长度,因为在弦的中央可以加上一个波节。接下来,我们可以得到波长等于2/3弦长的波,以此类推。
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1700922888 一般情况下,就像束缚在泳池中的水一样,弦会以不同的驻波组合振动,取决于如何拨弦。弦的实际形状总是可以由对应存在的每列谐波的驻波相加而来。谐波及其相对的振幅大小,使得声音具有其音色。不同的吉他有不同的谐波分布,因此音色也不同;但一把吉他上的中央C(纯谐波)和另一把上的中央C的音高总是相同的。对于吉他,驻波的形状非常简单:它们是纯粹的正弦波,波长由琴弦的长度决定。对于泳池,如图6.1所示,驻波更为复杂,但观念是完全一样的。
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1700922890 你可能会困惑,为何这些特殊的波被称为“驻波”。这是因为,这些波的形状从不改变。如果我们拍下以驻波振动的吉他弦的两张照片,则它们的区别将只在于波的整体大小。波峰总是在同一处,而波节也是,因为它们由琴弦端点的位置决定;在泳池的例子中,它们由池壁决定。在数学上,我们可以说,两张照片中的波只相差一个整体的乘积因子。这个因子随时间而周期性变化,表达出了琴弦的有节奏振动。对于图6.1中的泳池也是如此,每张照片由一个乘积因子同其他照片之间联系起来。例如,最后一张照片,可以通过将第一张照片中的波高乘以-1得到。
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1700922892 小结一下,以某种方式束缚的波,总能被表达成驻波(不改变形状的波)的组合。我们之所以投入这么多时间去了解它们,有很充分的理由。最重要的理由是,驻波是量子化的。对于吉他弦上的驻波,一切清晰明了:基频的波长是弦长的两倍,而允许的次长波长等于弦长。不存在波长位于这两者之间的驻波,因此我们可以说,吉他弦上允许的波长是量子化的。
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1700922894 由此可知,如果陷住波就会有什么东西被量子化。在吉他弦的例子中,量子化的显然是波长。对于盒中电子的情形,与电子对应的量子波也是被陷住的。类比可知,一些东西会被量子化,所以应该期望只有特定的驻波会出现在盒子里。其他类型的波不可能存在,就像无论怎么拨动,一根吉他弦都不可能同时弹出一个八度(octave)的所有音。而就和吉他的乐音一样,一般的电子态也由驻波态的混合来描述。这些量子驻波开始变得有意思了;受此鼓舞,我们来恰当地分析一番。
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1700922896 要取得进展,我们必须明确用来放置电子的盒子的形状。简便起见,我们假设电子可以在一个大小为L的区域内自由跳跃,但完全禁止它游荡出这个区域。我们本不需要说明准备如何禁止它游荡出去——但如果这是一个简化的原子模型,则我们应该想象,由带正电荷的原子核施加的力负责束缚住电子。在术语中,这叫作“方阱势”(square well potential)。图6.3画出了这种情况;命名的原因应该是显而易见的。
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1700922901 图6.3:陷在方阱势中的电子。
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1700922903 将粒子束缚在势中的观念非常重要,后文还要使用;因此我们要准确理解它的含义,这会非常有用。我们究竟是如何陷住粒子的?这个问题相当复杂;要彻底弄清楚它,需要了解粒子是如何与其他粒子相互作用的,这是第十章的内容。尽管如此,只要不问过多的问题,我们还是可以取得进展。
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1700922905 在物理学中,“不要问太多问题”是一项必要的技能,因为不存在完全孤立的物体体系,我们必须在某处画下界线,才有可能回答一些问题。如果我们想了解一台微波炉如何工作,就应该无需担心外面经过的车流,这看似毫无问题。但车流对微波炉的运转还是会有微小影响的,它带来空气和地面振动,使微波炉轻微摇晃。还可能有杂散的磁场,无论屏蔽得多好,都会影响微波炉内部的电子元件。忽略一些事情时有可能因为错过一些关键细节而犯错的。在这种情况下,我们就会得到错误的答案,不得不重新考虑假设。因此所有的假设都要通过实验来验证或否定,这非常重要,也是科学成功的核心。大自然才是仲裁者,而非人类的直觉。这里,我们的策略是忽略陷住电子的机制细节,并建立名为势的模型来研究它。“势”这个词,实际上只是说“由于某些物理或其他原因对粒子产生的效应,但我懒得仔细解释”。后面会对粒子的相互作用详加描述,但现在我们将用势的语言来讨论。如果这听起来有点漫不经心,让我们举例说明势在物理学中是如何应用的。
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1700922910 图6.4:位于谷底的球。粒子接触地面的海拔高度,直接正比于粒子在四处滚动中所感到的势。
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1700922912 图6.4展示了一个陷在谷中的球。如果踢小球一脚,它就能滚上山坡,但仅此而已,它之后就会重新滚下来。这是一个很好的例子,说明粒子被势陷住了。在本例中,地球的重力场产生了势,而陡峭的山坡形成了陡峭的势。显然我们可以算出球如何在山谷中来回滚动的细节,而不必知道谷底如何与球相互作用的详情;为此我们得了解量子电动力学的理论。如果事实证明,球中原子和谷底原子相互作用的细节对球运动的影响太大,我们就会作出错误的预测。实际上,原子间的相互作用的确重要,因为这会产生摩擦力;但也可以不用费曼图对摩擦力建立模型。我们跑题了。
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1700922914 这个例子非常形象,因为我们可以具体地看到势的形状[122]。但这种观念是普遍的,也适用于重力和山谷以外其他来源产生的势。一个例子就是陷在方阱中的电子。与谷中球的情形不同,阱的壁高并不是任何东西的实际高度;相反,它表示点要从阱中逃逸需要达到的速度。对于山谷的情形,这就类似于让球滚得足够快,使其能爬上山壁并离开山谷。如果电子移动得足够缓慢,则势的实际高度就无关紧要,我们可以放心地假设,电子就束缚在阱的内部。
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1700922916 我们现在来把注意力集中在一个电子身上,它陷在由方阱势描述的一个盒子里。由于它无法逃出盒子,量子波必须在盒子的边缘衰减为0[123]。那么,波长最长的三种可能的量子波,就完全类似于图6.2所示的吉他弦波:最长的波长是盒子大小的2倍,即2L;次长的波长等于盒子的大小,即L;下一个波长是2L/3。一般来说,我们可以将波长为2L/n的电子波放在盒子里,其中n=1,2,3,4,等等。
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1700922918 因此,具体对于方盒来说,电子波和吉他弦上的波的形状完全一样;它们是一组具有特定允许波长的正弦波。现在我们可以引用上一章中的德布罗意关系,继续将这些正弦波的波长与电子动量通过p=h/λ联系起来。在此情形中,驻波描述的电子只允许具有特定的动量,由公式p=nh/(2L)给出,我们所做的只是将允许的波长代入到德布罗意关系中。
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1700922920 这样,我们就证明了方阱中电子的动量是量子化的。这是个重磅结论。然而,我们确实得小心一点。图6.3中的势是一种特殊情形;对于其他的势,驻波通常不是正弦波。图6.5展示了一面鼓上的驻波。鼓皮上撒了沙子,后者聚集在驻波的波节处。因为包围振动鼓皮的边界是圆形而非方形,驻波不再是正弦波[124]。这意味着,一旦我们转而研究电子被质子陷住的更现实情形,它的驻波将同样不是正弦波。反过来,这意味着波长和动量的联系也不在了。那么,该如何诠释这些驻波呢?对于陷住的粒子,如果不是动量,那一般来说,又是什么被量子化了呢?
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