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德布罗意关系告诉我们，图5.4下方的每一列波都对应一个确定动量的粒子，而动量随波长减小而增加。我们开始明白，如果一个粒子由一个局域的钟群所描述，它为何必由动量在一个范围内的波组成。
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更直白地说，我们来假设，粒子由图5.4上方的实线所描述[116]。刚才已经知道，该粒子也能由一系列更长的钟群来描述：下方图中的第一列波，加上下方图中的第二列波，以此类推。这种思考方式下，在每个位置上都有多块钟（每一列波对应的长钟群都在这个位置有一块）；我们得把它们加在一起，得到图5.4上方的单块钟群。选择要如何理解粒子，真的是“取决于你”。可以认为它是由每个位置上的一块时钟描述的，时钟的大小立刻让你知道粒子可能被发现的地方，即图5.4上方的峰附近。抑或，可以认为粒子是由每个点上的一系列钟所描述，粒子每个可能的动量值都有一块。通过这种方式，我们提醒自己，局域在一个小区域内的粒子并不具有确定的动量。不可能从单一波长的波构造出紧致的波包，这是傅里叶数学的一个明显特征。
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这种思考方式给了我们一个新视角，去看待海森伯的不确定性原理。在这个视角中，我们不能用单一波长的波所对应的一个局域钟群去描述一个粒子。相反，为使钟群区域以外的钟抵消，必须混合不同波长的波，因此也会混合不同的动量。所以，为了让粒子局限在空间中某处，我们必须承认不知道它的动量。而且，对粒子位置的限制愈多，需要加入的波也就愈多，我们对其动量的了解就愈少。这正是不确定性原理的内容；能用不同的方法得出相同的结论，这让人很满意[117]。
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为了结束这一章，笔者想再花一点时间谈谈傅里叶。有一种非常强大的方式来描绘量子理论，它与我们刚才讨论的观念密切相关。重点是，任何量子粒子，无论它处于什么状态，都可以由一个波函数描述。如我们到目前为止所展示的那样，波函数就是一块小钟阵列，空间中每个位置都有一块，而钟的大小决定了粒子在那个位置被找到的概率。这种表示粒子的方法被称为“位置空间波函数”（position space wavefunction），因为它直接处理粒子可能处于的位置。然而，数学上有很多方法表示波函数，而空间中的小钟只是其中的一个版本。当我们表达可以认为粒子也是由正弦波之和描述的时候，已经触及了这一点。如果你考虑一下这一点，就应该意识到，指明完整的正弦波列表，实际上提供了对粒子的完整描述（因为通过把这些波相加，可以得到与位置空间波函数相关联的小钟）。换句话说，如果我们确切地指明需要哪些正弦波才能构造波包，以及每列正弦波究竟需要加入多少[118]才能得到合适的形状，则对于波包，我们将得到一个不同但完全等价的描述。巧妙的是，任何正弦波本身都能由一个假想的时钟来描述：钟的大小编码了波的最大高度，而波在某位置的相位则表示为那里的钟所指的时刻。这就是说，我们可以选择不用空间中的钟表示粒子，而用另一块钟的阵列来替代，粒子的每个可能的动量值都对应一块。这种描述和“空间中的钟”的描述一样紧凑有效。我们没有明确指出粒子可能在哪里被找到，而是明确指出粒子有可能具有哪些动量值。这种替代的钟的阵列被称为动量空间波函数（momentum space wavefunction），它包含的信息和位置空间波函数完全一样[119]。
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这听起来可能非常抽象，但你很可能每天都在用基于傅里叶观念的技术，因为将波分解成其正弦波分量，正是音频和视频压缩技术的基础。想想组成你最喜欢的曲子的声波。如我们刚刚所了解的，这列复杂的波可以被分解成一系列数字；而这些数字，为声音贡献出大量单纯正弦波中的所有波。尽管可能需要大量的单个正弦波，才能精准地重现原始声波，但事实上，可以扔掉大量的正弦波，也不会影响你所感知到的音质。具体来说，无需保留声波中人类无法听到的正弦波成分。这极大地减小了存储音频文件所需的数据量，因此你的MP3播放器不需要太大。
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你可能还会问，这个不同的、更抽象的波函数有什么用呢？嗯，考虑一个在位置空间中由单块钟表示的粒子，是在描述宇宙中处于确定位置的粒子，即钟所处的位置。现在再考虑一个由单块钟表示的粒子，但这次是在动量空间中。这表示一个具有单一、确定动量的粒子。大不相同的是，如果用位置空间波函数来描述这样的例子，就需要无穷多个相同大小的钟，因为根据不确定性原理，具有确定动量的粒子可以在任何地方被找到。因此，有时候直接用动量空间波函数进行计算会更简单。
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在本章中，我们学习了用钟来描述粒子能够描绘我们通常所说的“运动”。我们了解到，从量子理论的角度来看，我们对物体从一点到另一点的平滑运动的感知，是一种幻象。事实的真相更接近于，假设粒子从A运动到B是通过了所有可能的路径。只有当我们把所有可能性加起来，我们所感知到的运动才会显现出来。我们也才能明确地看到，钟的描述是如何包含了波动物理学，尽管我们只处理了类点粒子（point-like particles）。现在是时候真正地利用类点粒子与波动物理学的关系了，因为我们要解决一个重要的问题：量子理论如何解释原子结构？
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[110]你或许应该自己检验一遍。（原书注）
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[111]路易·德布罗意，1892年生于法国迪耶普，1987年卒于巴黎，法国物理学家。
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[112]“衍射”一词用于描述特殊的干涉，它是波的特点。（原书注）
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[113]当然，你可能会担心，如果d很大，要如何测量波包的动量。通过让L比d大得多，可以避免这种担心。（原书注）
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[114]约瑟夫·傅里叶，1768年生于法国欧塞尔，1830年卒于巴黎，法国数学家和物理学家。
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[115]拿破仑·波拿巴，1769年生于法属科西嘉岛的阿雅克肖，1821年卒于英属圣赫勒拿岛的长木，法国军事家、政治家。
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[116]回忆一下，我们画出的波的图像，其实是一种方便的方法，描绘出钟指针在12点方向上的投影。（原书注）
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[117]然而，这种得到不确定性原理的方法的确依赖于德布罗意关系，以将钟波的波长与其动量联系起来。（原书注）
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[118]指每列正弦波的振幅，或钟的大小。
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[119]在术语中，描述具有确定动量的粒子的波函数，被称为动量本征态momentum eigenstate，由德文词eigen构成，意为本征或特征。（原书注）
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量子宇宙 第六章 原子之音律
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原子内部是一个奇妙的地方。如果站在质子上并眺望原子之间的空间，你看到的将只是一片虚无。电子仍是极小，就算它们十分偶然地近至触手可及，你也感觉不到。质子的直径约为10－15米，或者说0.000000000000001米。但它作为一个量子，跟电子比起来则是庞然大物。如果你站上的质子在英格兰的多佛尔白崖（White Cliffs of Dover），那原子模糊的边界就在法国北部的某处农场中[120]。原子广袤空旷，而你的身体也是如此。最简单的原子是氢原子，包含一个质子和一个电子。电子小得微乎其微，看上去就像漫游在没有边界的场地，但事实并非如此。由于彼此的电磁吸力，电子与其质子彼此束缚陷入罗网；而正是关押它们的豪华囚室的尺寸和形状，决定了光特有的条码彩虹，被我们的老朋友和晚宴常客凯瑟尔教授记录在《光谱学手册》中。
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现在终于可以把我们到目前为止所积累的知识，应用到曾在20世纪初深深困扰卢瑟福、玻尔等人几十年的问题上：原子内部到底是怎么回事？或许你还记得，这个问题是这样的：卢瑟福发现，原子在某些方面就像一个微缩的太阳系，致密原子核像太阳一样位于中心，电子像行星扫过遥远的轨道。卢瑟福知道，这个模型不可能是正确的，因为在绕核轨道上的电子应该不断地发出光。结果对于原子应该是灾难性的，因为如果电子不断地发出光，则它必会损失能量，并沿螺线向内运动，最后不可避免地撞上原子核。这种情况当然没有发生。原子是趋向于稳定的。那么这模型的问题在哪里呢？
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这一章是本书的一个重要发展阶段；在本章中，我们的理论将首次被用于解释现实世界中的现象。到目前为止，我们所有的艰苦工作都集中在弄清楚核心理论形式，这样我们才能思考量子粒子。海森伯的不确定性原理和德布罗意关系，标志着我们成就的巅峰；但总的来说我们是谦逊的，考虑的是只包含一个粒子的宇宙。现在是时候展示，量子理论是如何影响我们生活的日常世界了。原子结构是真实而具体的。你由原子组成：它们的结构就是你的结构，它们的稳定性就是你的稳定性。所以说，理解原子的结构就是理解我们宇宙整体的必要条件之一，这一点也不过分。
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在氢原子内部，电子陷在质子周围的一个区域内。我们先想象一下，电子陷在某种盒子里，这与事实也相差无几。具体来说，我们将研究电子陷在小盒子中的物理现象能在多大程度上抓住真实原子的突出特征。我们会通过利用前一章所学的量子粒子的类波特征来进行研究，因为对于原子，波动图像确实可以简化描述；我们可以不用再担心钟的收缩、旋转和相加，就能够取得不错的进展。不过，请永远记住，波只是用来描述“引擎盖下”内情的一种便捷记法。
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由于为量子粒子发展的理论框架，与用于描述水波、声波或吉他弦上的波的框架极其类似，我们会先来思考一下，当这些熟悉的物质波以某种方式被约束时的行为。
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