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图6.4：位于谷底的球。粒子接触地面的海拔高度，直接正比于粒子在四处滚动中所感到的势。
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图6.4展示了一个陷在谷中的球。如果踢小球一脚，它就能滚上山坡，但仅此而已，它之后就会重新滚下来。这是一个很好的例子，说明粒子被势陷住了。在本例中，地球的重力场产生了势，而陡峭的山坡形成了陡峭的势。显然我们可以算出球如何在山谷中来回滚动的细节，而不必知道谷底如何与球相互作用的详情；为此我们得了解量子电动力学的理论。如果事实证明，球中原子和谷底原子相互作用的细节对球运动的影响太大，我们就会作出错误的预测。实际上，原子间的相互作用的确重要，因为这会产生摩擦力；但也可以不用费曼图对摩擦力建立模型。我们跑题了。
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这个例子非常形象，因为我们可以具体地看到势的形状[122]。但这种观念是普遍的，也适用于重力和山谷以外其他来源产生的势。一个例子就是陷在方阱中的电子。与谷中球的情形不同，阱的壁高并不是任何东西的实际高度；相反，它表示点要从阱中逃逸需要达到的速度。对于山谷的情形，这就类似于让球滚得足够快，使其能爬上山壁并离开山谷。如果电子移动得足够缓慢，则势的实际高度就无关紧要，我们可以放心地假设，电子就束缚在阱的内部。
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我们现在来把注意力集中在一个电子身上，它陷在由方阱势描述的一个盒子里。由于它无法逃出盒子，量子波必须在盒子的边缘衰减为0[123]。那么，波长最长的三种可能的量子波，就完全类似于图6.2所示的吉他弦波：最长的波长是盒子大小的2倍，即2L；次长的波长等于盒子的大小，即L；下一个波长是2L/3。一般来说，我们可以将波长为2L/n的电子波放在盒子里，其中n=1,2,3,4，等等。
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因此，具体对于方盒来说，电子波和吉他弦上的波的形状完全一样；它们是一组具有特定允许波长的正弦波。现在我们可以引用上一章中的德布罗意关系，继续将这些正弦波的波长与电子动量通过p=h/λ联系起来。在此情形中，驻波描述的电子只允许具有特定的动量，由公式p=nh/(2L)给出，我们所做的只是将允许的波长代入到德布罗意关系中。
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这样，我们就证明了方阱中电子的动量是量子化的。这是个重磅结论。然而，我们确实得小心一点。图6.3中的势是一种特殊情形；对于其他的势，驻波通常不是正弦波。图6.5展示了一面鼓上的驻波。鼓皮上撒了沙子，后者聚集在驻波的波节处。因为包围振动鼓皮的边界是圆形而非方形，驻波不再是正弦波[124]。这意味着，一旦我们转而研究电子被质子陷住的更现实情形，它的驻波将同样不是正弦波。反过来，这意味着波长和动量的联系也不在了。那么，该如何诠释这些驻波呢？对于陷住的粒子，如果不是动量，那一般来说，又是什么被量子化了呢？
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图6.5：一面振动的鼓。鼓面上覆盖的沙子聚集在驻波的波节处。
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请注意在方阱势中，如果电子的动量是量子化的，那么能量也是。这项简单的观察结果看似不包含任何重要的新信息，但可以帮助我们得到答案。因为它将能量和动量相互联系。具体来说，能量E=p2/2m，其中p是被陷住电子的动量，m是其质量[125]。这项观察结果并不像表面上那么无意义，因为对于比方阱势更复杂的势，每列驻波总是对应具有确定能量的粒子态。
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能量和动量之间的重要区别在于，在粒子可以存在的区域内，只有当势是平坦的时候，E=p2/2m才成立。同时得允许粒子能自由运动，就像桌面上的弹珠，或是方阱中的电子。更通俗地说，粒子的能量不会是E=p2/2m；相反，它会是粒子因运动所具有的能量和势能之和。这就破坏了粒子能量和动量之间的简单联系。
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我们可以通过再次思考谷中的球来说明这一点。如果我们在开始时让球快乐地停在谷底，就什么都不会发生[126]。要想让它滚上山谷一侧，必须踢它一脚，这相当于说我们需要增加它的能量。在踢球后的瞬间，它所有的能量都会以动能的形式出现。在球滚上山谷一侧时，它会慢下来；直到在离谷底一定高度时，球就会停住；然后再滚下并滚上另一侧。在它停止在山谷一侧的一定高度时，它没有了动能，但能量并没有神奇地消失。相反，所有的动能都变成了势能，等于mgh，其中g是地球表面由重力产生的加速度，h是球相对谷底的高度。当球开始向下滚入山谷时，存储的势能随着球的加速而逐渐转化成动能。因此，在球从山谷一侧滚向另一侧时，总能量保持不变，但会在动能和势能之间周期性地转换。显然，球的动量不断变化，但其能量却是常数（我们假定没有摩擦力使球慢下来。如果真的有，则总能量仍然是常数，但是得包含由摩擦力耗散掉的能量才行）。
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现在，我们要用另一种方式来探讨驻波和具有确定能量的粒子之间的关系，而不再利用方阱的特殊性质。我们要用小量子钟来讨论。
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图6.6：驻波在时间的连续流动中的四张快照。箭头表示钟指针，虚线是在“12点”方向的投影。时钟的转动全都同步。
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首先我们要注意到，如果一个电子在某一时刻由驻波描述，则在以后的某个时刻，它将被相同的驻波描述。“相同”是说波的形状不变，就像图6.1中水的驻波一样。当然，我们并不是说波完全没变；水的高度确实会有变化，但关键是波峰和波节的位置不变。这使我们可以得出，驻波的量子钟描述必须是什么样子。图6.6是基频驻波的情形，沿波分布的钟的大小，反映了波峰和波节的位置，而钟指针以相同的速率扫过钟面。希望你能明白，我们为何要画出这种特殊的钟的图案。波节必须始终是波节，波峰必须始终是波峰，而且它们必须始终停留在相同位置。这意味着波节附近的钟总是很小，且总是由最长指针的钟代表波峰。因此，我们唯一的自由，就是让钟待在被放置的地方，并同步旋转。
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如果按照前几章中的方法来推导，我们现在就要从图6.6中顶部一行钟的构型开始，并用收缩和旋转规则生成下面三行稍后时间的构型。这个关于钟跳跃的练习本身跳离本书太远，但它可以完成。而且这个练习，有其微妙的曲折之处：要正确地计算，必须考虑粒子在跃至目的地之前“在盒壁上弹回”的可能性。顺便说一下，由于中央处的钟更大，我们可以立刻得出结论：这块钟的阵列所描述的电子更可能在盒子的中央找到，而非边缘处。
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因此，我们发现被陷住的电子由钟的阵列所描述，它们以相同的速率绕圈。物理学者通常不这么说，音乐人当然也不会；他们都说，驻波是频率确定的波[127]。高频波对应的钟绕得比低频波的钟快。这点能直接看出来，因为如果钟绕得快，它从波峰到波谷再升回来（以钟指针转动一周表示）所需的时间就会减少。就水波而言，高频驻波的上下运动比低频的要快。在音乐中，中央C的频率据说是262Hz，也就是说，在吉他上，琴弦每秒钟上下运动262次。A的频率是440Hz，高于中央的C，所以它振动得更快（这是全世界大多数管弦乐队和乐器的调音标准）。然而，我们已经注意到，只有对于纯粹的正弦波，这些确定频率的波才有确定的波长。一般来说，频率才是描述驻波的基本量，而这句话大概是个双关。
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那么，终极问题就是：“一个电子有特定的频率，是表达什么意思？”我们得提醒你，这些电子态对我们来说很有意思，因为它们是量子化的，并且处于这种量子态的电子，会一直保持在这种态中（除非有什么东西进入势的作用区域，并且重击电子）。
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最后这一句是我们确定“频率”含义所需的重大线索。在本章前面我们遇到了能量守恒定律，它是物理学中极少数颠扑不破的定律之一。能量守恒定律指出，如果氢原子（或方阱）内的电子具有特定的能量，则能量不会改变，除非“有事发生”。换句话说，电子不能无缘无故地自发改变能量。这听起来可能没什么意思，但请把这个和已知位于某个位置的电子进行对比。我们很清楚，这个电子会在下一瞬间跃至整个宇宙，生出无穷多块钟。但是驻波的钟图案却不一样。它保持自己的形状，和所有的钟一起快乐地永远旋转，除非有什么东西扰动它们。因此，驻波的不变性，使其成为描述具有确定能量电子的候选方案。
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一旦我们把驻波频率和粒子的能量联系起来，就可以利用我们对吉他弦的知识，推断出更高的频率一定对应更高的能量。这是因为，高频率意味着短波长（因为短弦振动得更快），而且根据我们所知的方阱势的特殊情况，可以通过德布罗意关系推知，更短的波长对应更高能量的粒子。因此，重要的推论是：驻波描述具有确定能量的粒子；能量越高，钟指针绕圈越快。
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小结一下，我们推理得出，当电子被势所束缚时，其能量被量子化。用物理学的行话来说，我们认为一个被陷住的电子只能存在于特定的“能级”（energy level）之中。电子能具有的最低能量，对应其“基频”驻波[128]，而这个能级通常被称为“基态”（ground state）。对应更高频率驻波的能级称为“激发态”（excited state）。
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我们来想象一个困在方阱势中、具有特定能量的电子。我们说它“坐在一个特定的能级中”，其量子波将与一个单一的n值相关联（见本章前文）。“坐在一个特定的能级中”，这种措辞反映出下列事实：在没有外部影响时，电子会什么都不做。更通俗地说，电子可以由很多驻波来描述，就像吉他的声音是由很多谐波组成的。这意味着，电子一般具有的不是唯一能量。
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关键之处在于，测量电子能量给出的值必须始终与其中一列驻波相关。为了计算出在某个特定能量找到电子的概率，我们应该考虑总波函数中与该能量相对应的驻波的贡献，将这些驻波所关联的钟指针长度求平方，并加起来，得到的数就告诉我们电子处在这种特定能态的概率。所有这样的概率（每个能级都有一个）相加必需和为1；这反映了一个事实，即我们总会发现，粒子的能量与特定的驻波相对应。
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我们说白了：电子可以同时具有很多不同的能量，而这和说它可以处于多个位置一样怪诞。当然，到了本书的这个阶段，你应该不会再感到震惊；但在我们的日常直觉中，这还是让人震惊。注意，陷住的量子粒子，和泳池中或吉他弦上的驻波，有一项至关重要的区别。对于吉他上的驻波，它们被量子化的观念一点都不奇怪，因为描述振动弦的真实的波，是由很多不同的驻波同时组成的；而所有的这些波，在物理上都对波的总能量有贡献。因为它们能以任何方式混合，振动弦的能量可以取任意值[129]。然而，对于陷在原子内部的电子，每列驻波的相对贡献，描述了电子以那种特定能量被发现的概率。关键的区别在于，水波是由于水分子集体运动而显现的波，而电子波当然不是由电子集体运动而显现的波。