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这些考量表明，原子内部的电子能量是量子化的。这意味着，电子根本无法具有任何介于某些允许值之间的能量。这就像是说，一辆车能以时速10英里或40英里行驶，但不能以介于其中的时速行驶。这个恢恑憰怪的结论立刻提供了解释，当电子沿螺线落入原子核时为何原子不会连续地辐射光。这是因为，没有办法让电子不断地一点一点释放能量。相反，它唯一能释放能量的方式，就是一次性失去一大块能量。
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图6.7：氢原子的巴耳末系：这就是来自氢元素的光通过光谱仪后得到的图案。
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我们也可以将刚才所学，与观测到的原子性质联系起来；具体来看就可以解释它们发出光的独特颜色。图6.7展示了最简单的原子——氢原子所发出的光。这种原子发出的光，由五种独特的颜色组成：一条对应656纳米波长的亮红色谱线，一条对应486纳米波长的淡蓝色谱线，还有三条紫色的、逐渐消失在光谱紫外端的谱线。这一系列颜色被称为巴耳末系，得名于瑞士数学物理学家约翰·巴耳末[130]（Johann Balmer）；他在1885年写下了能描述这些谱线的公式。巴耳末不知道他的公式为什么有效，因为量子理论当时还没有被发现；他只是用一个简单的数学公式，表达了光谱图案背后的规律。但我们能做得更好，而这一切都与氢原子内部所允许的量子波有关。
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我们知道，光可以被看作光子流，每个光子的能量是E=hc/λ，其中λ是光的波长[131]。因此，原子只能发出特定颜色的光，这项观测结果就意味着，它们只能发出能量特定的光子。我们还了解到，“陷在原子”中的电子只能具有某些特定的能量。这是我们向解释由原子发出的彩色光的这个历史谜团迈进了一小步：不同的颜色，对应于电子从一个允许的能级“下落”至另一个时所发出的光子。这个想法意味着，观测到的光子能量，总是对应于一对允许的电子能量之差。这种描述光谱物理的方法，很好地展示了以允许的电子能量来描述其量子态的价值。反观，如果我们是选用了电子动量的允许值，则量子性质就不会那么明显，而我们也不会这么容易就得出结论：原子只能以特定波长发出与吸收光辐射。
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原子的盒中粒子模型没有精确到足以计算真实原子中的电子能量，然而这项计算是检验这个想法的必要条件。所幸如果我们能更准确地对质子附近陷住电子的势建模，也可以完成精确的计算。只要这些计算确凿无疑，就能证实，驻波所描述的确实是那些神秘的光谱线的起源。
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你可能已经注意到，我们并未解释电子为何会因发出光子而失去能量。就本章目的而言，我们不需要解释。但是，一定会有什么东西，促使电子离开驻波，而这“什么东西”是第十章的主题。现在，我们只简要地说，“为了解释观测到的由原子所发出的光的图案，有必要假设，当电子从一个能级下落到另一个更低能级时，就会发出光”。原子盒的形状决定允许的能级，且它们因原子而异，因为在不同原子中，电子受限的环境不同。
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到这里为止，我们用一幅非常简单的原子图像很好地解释清楚了；但还不足以假设电子被封闭在某个盒子中自由运动。电子是在一堆质子和其他电子附近运动；要真正理解原子，我们现在必须思考，如何更准确地描述这个环境。
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量子宇宙 原子盒
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有了势的概念，就可以更准确地描述原子。我们来从最简单的原子氢原子开始。一个氢原子只有两个粒子构成：一个电子和一个质子。质子比电子重近2000倍，所以我们可以假设它坐在那里动都不动，就能产生一个束缚住电子的势。
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质子带正电荷，而电子带负电荷。顺带一提，质子和电子的电荷为何完全等值且相反，是物理学最大的谜团之一。或许有一个极好的原因，和亚原子粒子某些尚未发现的基本理论有关，但在笔者撰写本书时，无人知晓。
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图6.8：一个质子周围的库仑势阱。在质子所在之处，是阱最深处。
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我们所知道的是，由于电荷相反，质子会把电子拉向自己；在前量子物理学中，它可以把电子向内拉到任意小的距离。有多近取决于质子的精确性质：它到底是硬球，还是云雾状的什么东西？这个问题无关紧要，因为我们已经看到的是，电子有一个最低的能级，（粗略来讲）是由能填进质子产生的势中波长最长的量子波决定。质子产生的势已经绘在图6.8中。深“洞”的功能就像是我们稍早遇到的方阱势，只是其形状不像后者那么简单。它被称为“库仑势”，因为它是由两个电荷之间相互作用的定律决定的；这个定律最早由夏尔-奥古斯丁·德·库仑[132]（Charles-Augustin de Coulomb）于1783年写下。然而，挑战还是一样的：我们必须找出那些能被这个势所容纳的量子波，而这些波将决定氢原子允许的能级。
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图6.9：用以描述氢原子中电子的四列最低能量的量子波。亮的区域是电子最容易出现之处，而质子位于中心。右上图和左下图相对第一张图，展示区域扩大至4倍；右下图相对第一张图，展示区域扩大至8倍。第一张图展示区域的直径约为3×10－10m。
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我们可以呆板地说，要找到这些量子波，就是“对库仑势阱求解薛定谔的波动方程”，这是实现钟跃法则的一种办法。即使对于简单如氢原子的情形，详细解法也需要技术；幸运的是，我们无需比已经领悟的知识再多学多少。为此，我们将直接跳到解答：图6.9展示了从氢原子的电子得到的驻波。它说明了电子在某处被找到的概率。亮的区域是电子最有可能出现的地方。当然，真正的氢原子是三维的，而这些图对应于通过原子中心的切片。左上角的图是基态波函数，它告诉我们，在这种情形中，电子通常会位于距质子1×10－10米处。驻波的能量从左上到右下图递增。从左上到右下，观察尺度也扩大到8倍——事实上，覆盖左上角图大部分的明亮区域，大约和右边两张图中部的小亮区一样大。这意味着，电子处在更高能级时，倾向于离质子更远（因此电子和质子的结合更弱）。这些波显然不是正弦波，这就是说，它们不对应动量确定的量子态。但是，如我们所反复强调的，它们确实对应能量确定的态。
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图6.10：篮球内两列最简单的声音驻波（左）与氢原子中相应的电子波（右）作比较，它们非常相似。氢原子的上方图是图6.9中左下图中心区域的特写。
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驻波的独特形状，是由阱的形状造成的；其中有一些特点，值得稍加讨论。质子周围的阱的最显著特点是，它是球对称（spherically symmetric）的。这意味着，无论从哪个角度看它都是一样的。要想象出这一点，请考虑一个没有标记的篮球：它是一个完美的球，无论如何转动它，看起来都一样。也许，我们可以大胆地把氢原子内的电子，想象成是被困在一个小小的篮球里？这当然比说电子陷在一个方阱里要更有可能；而不寻常的是，它们还有相似性[133]。图6.10左侧是篮球内两列能量最低的声音驻波。我们再次沿中心切开球，随图中颜色由黑转白代表着球中的气体压强逐渐增大[134]。图右侧是氢原子中两列可能的电子波。左右两张图虽不完全相同，但十分相似。所以，想象氢原子内的电子陷在一个类似于小篮球的东西里，也没那么蠢。这幅图像的确能展示量子粒子的类波行为，它有望解开一部分谜团：理解氢原子中的电子，并不比理解气体在篮球内部的振动更复杂。
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在离开氢原子话题之前，笔者想多说一点关于质子产生的势，以及电子如何随着发射光子、由高能级跃至低能级。通过引入势的概念，我们合理地避免了关于质子和电子是如何通信的讨论。这种简化让我们理解被束缚粒子能量的量子化。但是，如果想认真理解发生的事情，我们应该尝试解释束缚粒子背后的机制。对于粒子在真实盒子中运动的情形，我们可能会想象某种无法被穿透的盒壁，它大概是由原子组成，粒子将与这些原子相互作用因而无法穿透盒壁。对“不可穿透性”的正确理解要从粒子如何相互作用出发。我们比喻说，氢原子中的质子“产生一个势”，而电子在其中运动，又把势束缚住电子的方式比喻为粒子陷在盒子里的方式。这种说法还是回避了更深层的问题，因为很明显，电子与质子会相互作用；而正是这种相互作用，决定了电子如何被禁锢。