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一旦我们把驻波频率和粒子的能量联系起来，就可以利用我们对吉他弦的知识，推断出更高的频率一定对应更高的能量。这是因为，高频率意味着短波长（因为短弦振动得更快），而且根据我们所知的方阱势的特殊情况，可以通过德布罗意关系推知，更短的波长对应更高能量的粒子。因此，重要的推论是：驻波描述具有确定能量的粒子；能量越高，钟指针绕圈越快。
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小结一下，我们推理得出，当电子被势所束缚时，其能量被量子化。用物理学的行话来说，我们认为一个被陷住的电子只能存在于特定的“能级”（energy level）之中。电子能具有的最低能量，对应其“基频”驻波[128]，而这个能级通常被称为“基态”（ground state）。对应更高频率驻波的能级称为“激发态”（excited state）。
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我们来想象一个困在方阱势中、具有特定能量的电子。我们说它“坐在一个特定的能级中”，其量子波将与一个单一的n值相关联（见本章前文）。“坐在一个特定的能级中”，这种措辞反映出下列事实：在没有外部影响时，电子会什么都不做。更通俗地说，电子可以由很多驻波来描述，就像吉他的声音是由很多谐波组成的。这意味着，电子一般具有的不是唯一能量。
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关键之处在于，测量电子能量给出的值必须始终与其中一列驻波相关。为了计算出在某个特定能量找到电子的概率，我们应该考虑总波函数中与该能量相对应的驻波的贡献，将这些驻波所关联的钟指针长度求平方，并加起来，得到的数就告诉我们电子处在这种特定能态的概率。所有这样的概率（每个能级都有一个）相加必需和为1；这反映了一个事实，即我们总会发现，粒子的能量与特定的驻波相对应。
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我们说白了：电子可以同时具有很多不同的能量，而这和说它可以处于多个位置一样怪诞。当然，到了本书的这个阶段，你应该不会再感到震惊；但在我们的日常直觉中，这还是让人震惊。注意，陷住的量子粒子，和泳池中或吉他弦上的驻波，有一项至关重要的区别。对于吉他上的驻波，它们被量子化的观念一点都不奇怪，因为描述振动弦的真实的波，是由很多不同的驻波同时组成的；而所有的这些波，在物理上都对波的总能量有贡献。因为它们能以任何方式混合，振动弦的能量可以取任意值[129]。然而，对于陷在原子内部的电子，每列驻波的相对贡献，描述了电子以那种特定能量被发现的概率。关键的区别在于，水波是由于水分子集体运动而显现的波，而电子波当然不是由电子集体运动而显现的波。
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这些考量表明，原子内部的电子能量是量子化的。这意味着，电子根本无法具有任何介于某些允许值之间的能量。这就像是说，一辆车能以时速10英里或40英里行驶，但不能以介于其中的时速行驶。这个恢恑憰怪的结论立刻提供了解释，当电子沿螺线落入原子核时为何原子不会连续地辐射光。这是因为，没有办法让电子不断地一点一点释放能量。相反，它唯一能释放能量的方式，就是一次性失去一大块能量。
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图6.7：氢原子的巴耳末系：这就是来自氢元素的光通过光谱仪后得到的图案。
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我们也可以将刚才所学，与观测到的原子性质联系起来；具体来看就可以解释它们发出光的独特颜色。图6.7展示了最简单的原子——氢原子所发出的光。这种原子发出的光，由五种独特的颜色组成：一条对应656纳米波长的亮红色谱线，一条对应486纳米波长的淡蓝色谱线，还有三条紫色的、逐渐消失在光谱紫外端的谱线。这一系列颜色被称为巴耳末系，得名于瑞士数学物理学家约翰·巴耳末[130]（Johann Balmer）；他在1885年写下了能描述这些谱线的公式。巴耳末不知道他的公式为什么有效，因为量子理论当时还没有被发现；他只是用一个简单的数学公式，表达了光谱图案背后的规律。但我们能做得更好，而这一切都与氢原子内部所允许的量子波有关。
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我们知道，光可以被看作光子流，每个光子的能量是E=hc/λ，其中λ是光的波长[131]。因此，原子只能发出特定颜色的光，这项观测结果就意味着，它们只能发出能量特定的光子。我们还了解到，“陷在原子”中的电子只能具有某些特定的能量。这是我们向解释由原子发出的彩色光的这个历史谜团迈进了一小步：不同的颜色，对应于电子从一个允许的能级“下落”至另一个时所发出的光子。这个想法意味着，观测到的光子能量，总是对应于一对允许的电子能量之差。这种描述光谱物理的方法，很好地展示了以允许的电子能量来描述其量子态的价值。反观，如果我们是选用了电子动量的允许值，则量子性质就不会那么明显，而我们也不会这么容易就得出结论：原子只能以特定波长发出与吸收光辐射。
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原子的盒中粒子模型没有精确到足以计算真实原子中的电子能量，然而这项计算是检验这个想法的必要条件。所幸如果我们能更准确地对质子附近陷住电子的势建模，也可以完成精确的计算。只要这些计算确凿无疑，就能证实，驻波所描述的确实是那些神秘的光谱线的起源。
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你可能已经注意到，我们并未解释电子为何会因发出光子而失去能量。就本章目的而言，我们不需要解释。但是，一定会有什么东西，促使电子离开驻波，而这“什么东西”是第十章的主题。现在，我们只简要地说，“为了解释观测到的由原子所发出的光的图案，有必要假设，当电子从一个能级下落到另一个更低能级时，就会发出光”。原子盒的形状决定允许的能级，且它们因原子而异，因为在不同原子中，电子受限的环境不同。
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到这里为止，我们用一幅非常简单的原子图像很好地解释清楚了；但还不足以假设电子被封闭在某个盒子中自由运动。电子是在一堆质子和其他电子附近运动；要真正理解原子，我们现在必须思考，如何更准确地描述这个环境。
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量子宇宙 原子盒
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有了势的概念，就可以更准确地描述原子。我们来从最简单的原子氢原子开始。一个氢原子只有两个粒子构成：一个电子和一个质子。质子比电子重近2000倍，所以我们可以假设它坐在那里动都不动，就能产生一个束缚住电子的势。
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质子带正电荷，而电子带负电荷。顺带一提，质子和电子的电荷为何完全等值且相反，是物理学最大的谜团之一。或许有一个极好的原因，和亚原子粒子某些尚未发现的基本理论有关，但在笔者撰写本书时，无人知晓。
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图6.8：一个质子周围的库仑势阱。在质子所在之处，是阱最深处。
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我们所知道的是，由于电荷相反，质子会把电子拉向自己；在前量子物理学中，它可以把电子向内拉到任意小的距离。有多近取决于质子的精确性质：它到底是硬球，还是云雾状的什么东西？这个问题无关紧要，因为我们已经看到的是，电子有一个最低的能级，（粗略来讲）是由能填进质子产生的势中波长最长的量子波决定。质子产生的势已经绘在图6.8中。深“洞”的功能就像是我们稍早遇到的方阱势，只是其形状不像后者那么简单。它被称为“库仑势”，因为它是由两个电荷之间相互作用的定律决定的；这个定律最早由夏尔-奥古斯丁·德·库仑[132]（Charles-Augustin de Coulomb）于1783年写下。然而，挑战还是一样的：我们必须找出那些能被这个势所容纳的量子波，而这些波将决定氢原子允许的能级。
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图6.9：用以描述氢原子中电子的四列最低能量的量子波。亮的区域是电子最容易出现之处，而质子位于中心。右上图和左下图相对第一张图，展示区域扩大至4倍；右下图相对第一张图，展示区域扩大至8倍。第一张图展示区域的直径约为3×10－10m。
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