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我们可以呆板地说，要找到这些量子波，就是“对库仑势阱求解薛定谔的波动方程”，这是实现钟跃法则的一种办法。即使对于简单如氢原子的情形，详细解法也需要技术；幸运的是，我们无需比已经领悟的知识再多学多少。为此，我们将直接跳到解答：图6.9展示了从氢原子的电子得到的驻波。它说明了电子在某处被找到的概率。亮的区域是电子最有可能出现的地方。当然，真正的氢原子是三维的，而这些图对应于通过原子中心的切片。左上角的图是基态波函数，它告诉我们，在这种情形中，电子通常会位于距质子1×10－10米处。驻波的能量从左上到右下图递增。从左上到右下，观察尺度也扩大到8倍——事实上，覆盖左上角图大部分的明亮区域，大约和右边两张图中部的小亮区一样大。这意味着，电子处在更高能级时，倾向于离质子更远（因此电子和质子的结合更弱）。这些波显然不是正弦波，这就是说，它们不对应动量确定的量子态。但是，如我们所反复强调的，它们确实对应能量确定的态。
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图6.10：篮球内两列最简单的声音驻波（左）与氢原子中相应的电子波（右）作比较，它们非常相似。氢原子的上方图是图6.9中左下图中心区域的特写。
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驻波的独特形状，是由阱的形状造成的；其中有一些特点，值得稍加讨论。质子周围的阱的最显著特点是，它是球对称（spherically symmetric）的。这意味着，无论从哪个角度看它都是一样的。要想象出这一点，请考虑一个没有标记的篮球：它是一个完美的球，无论如何转动它，看起来都一样。也许，我们可以大胆地把氢原子内的电子，想象成是被困在一个小小的篮球里？这当然比说电子陷在一个方阱里要更有可能；而不寻常的是，它们还有相似性[133]。图6.10左侧是篮球内两列能量最低的声音驻波。我们再次沿中心切开球，随图中颜色由黑转白代表着球中的气体压强逐渐增大[134]。图右侧是氢原子中两列可能的电子波。左右两张图虽不完全相同，但十分相似。所以，想象氢原子内的电子陷在一个类似于小篮球的东西里，也没那么蠢。这幅图像的确能展示量子粒子的类波行为，它有望解开一部分谜团：理解氢原子中的电子，并不比理解气体在篮球内部的振动更复杂。
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在离开氢原子话题之前，笔者想多说一点关于质子产生的势，以及电子如何随着发射光子、由高能级跃至低能级。通过引入势的概念，我们合理地避免了关于质子和电子是如何通信的讨论。这种简化让我们理解被束缚粒子能量的量子化。但是，如果想认真理解发生的事情，我们应该尝试解释束缚粒子背后的机制。对于粒子在真实盒子中运动的情形，我们可能会想象某种无法被穿透的盒壁，它大概是由原子组成，粒子将与这些原子相互作用因而无法穿透盒壁。对“不可穿透性”的正确理解要从粒子如何相互作用出发。我们比喻说，氢原子中的质子“产生一个势”，而电子在其中运动，又把势束缚住电子的方式比喻为粒子陷在盒子里的方式。这种说法还是回避了更深层的问题，因为很明显，电子与质子会相互作用；而正是这种相互作用，决定了电子如何被禁锢。
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在第十章中将会看到，补充一些处理粒子相互作用的新规则，来完善我们到目前为止所阐明的量子规则。目前，我们的规则非常简单：粒子携带虚构的钟跳来跳去；根据跳跃的距离，钟会逆时针转动特定的量。允许所有的跳跃，因此一个粒子可以通过无穷多条路线从A跃至B。每条路线都会将其自己的量子钟送至B，我们必须把这些钟加起来，以决定一个作为结果的钟。这块钟就会告诉我们在B处找到粒子的概率。在这套把戏中加入相互作用其实很简单，只要在跳跃规则之外，我们再添加一条新规则，规定一个粒子可以发射或吸收另一个粒子。如果发生相互作用之前只有一个粒子，则这之后可以有两个；如果发生相互作用之前有两个粒子，则这之后可以只有一个。当然，如果想搞出数学形式，则我们需要更精确地说明，哪些粒子可以融合或分裂，以及每个粒子携带的钟在相互作用时会怎样。相互作用是第十章的主题，但是它对原子的影响应该很显而易见的。如果有规则说电子是通过发射光子来相互作用，则有这种可能：氢原子中的电子吐出一个光子，失去能量而跌落至更低的能级。它也可能吸收一个光子，得到能量并跃上更高的能级。
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光谱线的存在表明，发射和吸收光子确有其事，并且这个过程通常严重偏向一种方式。具体来说，电子可以随时吐出一个光子并损失能量，但它唯一获得能量并跃上更高能级的方式是，有一个光子（或其他来源的能量）能与之相撞。在一团氢气中，这样的光子通常既少又远，而一个处于激发态的原子更可能发射一个光子，而不是吸收。最后的净效应是，氢原子倾向于退激发（de-excite）；这是说，发射率超过了吸收率，并且在一段时间后，原子会降至n=1基态。但情况并非总是如此，因为有可能通过可控的方式给原子提供能量，使其不断激发。这就是如今已无所不在的激光（laser）技术的基础。激光的基本思想是，将能量泵入原子，激发它们，并收集电子能级降低时产生的光子。当以高精度从CD或DVD表面读取数据时，这些光子非常有用：量子力学以各种形式影响着我们的生活。
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在本章中，我们用量子化能级的简单观念成功地解释了光谱线的来源。我们看似有了一种思考原子的可行方式。但有些事又不太对。我们还缺少最后一块拼图；没有它，就不能解释其他比氢更重的原子。更确切地说，也将无法解释，为何我们不会落入地面；这对描述大自然的最好理论是个问题。我们要寻找的洞见，来自奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利的工作。
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[120]大致相当于质子在烟台芝罘岛，而原子边界在隔海相望的大连某地。
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[121]这里只考虑任意纷乱但振幅不大的情形，忽略掉飞溅、泡沫等现象。
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[122]重力势，能准确映射到地形上，这个事实的内在原理是，在地球表面附近，重力势与离地面的高度成正比。（原书注）
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[123]其实根据这个原因，只能推得量子波在盒子以外为0。让我们暂且接受这个结论。
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[124]事实上，它们是由贝塞尔函数来描述的。（原书注）弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）1784年生于德国明登，1846年卒于今俄罗斯加里宁格勒，德国天文学家和数学家。（译注）
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[125]这是由能量等于1/2mv2以及p=mv得到的。这些关系的确会在狭义相对论中被修改，但相对论效应对于氢原子内的电子而言很小。（原书注）
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[126]这是一个大球，无需担心量子晃动。但是，如果你的脑海中闪过这个想法，则是一个好的迹象：你的直觉正在变得量子化。（原书注）
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[127]其实，音乐人只是可能不会这么说，而鼓手是一定不会，因为英语的“频率”（frequency）是一个超过两个音节的词。（原书注）
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[128]例如，在方阱势中n=1的情况。
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[129]除了驻波混合方式的不同，振动弦的振幅也可以变化；例如，在只以一种驻波振动的情形中，通过改变振幅，也可以改变振动弦的能量。这与作为驻波的电子不同：由于概率诠释，描述电子的驻波的振幅平方之和等于1，所以电子能量只由各驻波的混合方式决定；例如，在只有一种驻波的情形中，电子的能量是唯一确定的。
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[130]约翰·巴耳末，1825年生于瑞士劳森，1898年卒于巴塞尔，瑞士数学家、数学物理学家。
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[131]顺便一提，对于无质量粒子，由爱因斯坦的狭义相对论可推得E=cp。如果读者知道这一点，则再结合德布罗意关系，就可以立刻得到E=hc/λ。（原书注）
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[132]夏尔—奥古斯丁·德·库仑，1736年生于法国昂古莱姆，1806年卒于巴黎，法国军事工程师和物理学家。
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[133]方阱的“方”，说的是势在边界处跃变，而在阱内外分别为常数，与几何形状没有关系。本段所述三维空间中的情形，也可以称为球对称方势阱。
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[134]空气中的声波可以看成是空气压强的波动。
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