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原子的盒中粒子模型没有精确到足以计算真实原子中的电子能量，然而这项计算是检验这个想法的必要条件。所幸如果我们能更准确地对质子附近陷住电子的势建模，也可以完成精确的计算。只要这些计算确凿无疑，就能证实，驻波所描述的确实是那些神秘的光谱线的起源。
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你可能已经注意到，我们并未解释电子为何会因发出光子而失去能量。就本章目的而言，我们不需要解释。但是，一定会有什么东西，促使电子离开驻波，而这“什么东西”是第十章的主题。现在，我们只简要地说，“为了解释观测到的由原子所发出的光的图案，有必要假设，当电子从一个能级下落到另一个更低能级时，就会发出光”。原子盒的形状决定允许的能级，且它们因原子而异，因为在不同原子中，电子受限的环境不同。
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到这里为止，我们用一幅非常简单的原子图像很好地解释清楚了；但还不足以假设电子被封闭在某个盒子中自由运动。电子是在一堆质子和其他电子附近运动；要真正理解原子，我们现在必须思考，如何更准确地描述这个环境。
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量子宇宙 原子盒
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有了势的概念，就可以更准确地描述原子。我们来从最简单的原子氢原子开始。一个氢原子只有两个粒子构成：一个电子和一个质子。质子比电子重近2000倍，所以我们可以假设它坐在那里动都不动，就能产生一个束缚住电子的势。
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质子带正电荷，而电子带负电荷。顺带一提，质子和电子的电荷为何完全等值且相反，是物理学最大的谜团之一。或许有一个极好的原因，和亚原子粒子某些尚未发现的基本理论有关，但在笔者撰写本书时，无人知晓。
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图6.8：一个质子周围的库仑势阱。在质子所在之处，是阱最深处。
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我们所知道的是，由于电荷相反，质子会把电子拉向自己；在前量子物理学中，它可以把电子向内拉到任意小的距离。有多近取决于质子的精确性质：它到底是硬球，还是云雾状的什么东西？这个问题无关紧要，因为我们已经看到的是，电子有一个最低的能级，（粗略来讲）是由能填进质子产生的势中波长最长的量子波决定。质子产生的势已经绘在图6.8中。深“洞”的功能就像是我们稍早遇到的方阱势，只是其形状不像后者那么简单。它被称为“库仑势”，因为它是由两个电荷之间相互作用的定律决定的；这个定律最早由夏尔-奥古斯丁·德·库仑[132]（Charles-Augustin de Coulomb）于1783年写下。然而，挑战还是一样的：我们必须找出那些能被这个势所容纳的量子波，而这些波将决定氢原子允许的能级。
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图6.9：用以描述氢原子中电子的四列最低能量的量子波。亮的区域是电子最容易出现之处，而质子位于中心。右上图和左下图相对第一张图，展示区域扩大至4倍；右下图相对第一张图，展示区域扩大至8倍。第一张图展示区域的直径约为3×10－10m。
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我们可以呆板地说，要找到这些量子波，就是“对库仑势阱求解薛定谔的波动方程”，这是实现钟跃法则的一种办法。即使对于简单如氢原子的情形，详细解法也需要技术；幸运的是，我们无需比已经领悟的知识再多学多少。为此，我们将直接跳到解答：图6.9展示了从氢原子的电子得到的驻波。它说明了电子在某处被找到的概率。亮的区域是电子最有可能出现的地方。当然，真正的氢原子是三维的，而这些图对应于通过原子中心的切片。左上角的图是基态波函数，它告诉我们，在这种情形中，电子通常会位于距质子1×10－10米处。驻波的能量从左上到右下图递增。从左上到右下，观察尺度也扩大到8倍——事实上，覆盖左上角图大部分的明亮区域，大约和右边两张图中部的小亮区一样大。这意味着，电子处在更高能级时，倾向于离质子更远（因此电子和质子的结合更弱）。这些波显然不是正弦波，这就是说，它们不对应动量确定的量子态。但是，如我们所反复强调的，它们确实对应能量确定的态。
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图6.10：篮球内两列最简单的声音驻波（左）与氢原子中相应的电子波（右）作比较，它们非常相似。氢原子的上方图是图6.9中左下图中心区域的特写。
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驻波的独特形状，是由阱的形状造成的；其中有一些特点，值得稍加讨论。质子周围的阱的最显著特点是，它是球对称（spherically symmetric）的。这意味着，无论从哪个角度看它都是一样的。要想象出这一点，请考虑一个没有标记的篮球：它是一个完美的球，无论如何转动它，看起来都一样。也许，我们可以大胆地把氢原子内的电子，想象成是被困在一个小小的篮球里？这当然比说电子陷在一个方阱里要更有可能；而不寻常的是，它们还有相似性[133]。图6.10左侧是篮球内两列能量最低的声音驻波。我们再次沿中心切开球，随图中颜色由黑转白代表着球中的气体压强逐渐增大[134]。图右侧是氢原子中两列可能的电子波。左右两张图虽不完全相同，但十分相似。所以，想象氢原子内的电子陷在一个类似于小篮球的东西里，也没那么蠢。这幅图像的确能展示量子粒子的类波行为，它有望解开一部分谜团：理解氢原子中的电子，并不比理解气体在篮球内部的振动更复杂。
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在离开氢原子话题之前，笔者想多说一点关于质子产生的势，以及电子如何随着发射光子、由高能级跃至低能级。通过引入势的概念，我们合理地避免了关于质子和电子是如何通信的讨论。这种简化让我们理解被束缚粒子能量的量子化。但是，如果想认真理解发生的事情，我们应该尝试解释束缚粒子背后的机制。对于粒子在真实盒子中运动的情形，我们可能会想象某种无法被穿透的盒壁，它大概是由原子组成，粒子将与这些原子相互作用因而无法穿透盒壁。对“不可穿透性”的正确理解要从粒子如何相互作用出发。我们比喻说，氢原子中的质子“产生一个势”，而电子在其中运动，又把势束缚住电子的方式比喻为粒子陷在盒子里的方式。这种说法还是回避了更深层的问题，因为很明显，电子与质子会相互作用；而正是这种相互作用，决定了电子如何被禁锢。
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在第十章中将会看到，补充一些处理粒子相互作用的新规则，来完善我们到目前为止所阐明的量子规则。目前，我们的规则非常简单：粒子携带虚构的钟跳来跳去；根据跳跃的距离，钟会逆时针转动特定的量。允许所有的跳跃，因此一个粒子可以通过无穷多条路线从A跃至B。每条路线都会将其自己的量子钟送至B，我们必须把这些钟加起来，以决定一个作为结果的钟。这块钟就会告诉我们在B处找到粒子的概率。在这套把戏中加入相互作用其实很简单，只要在跳跃规则之外，我们再添加一条新规则，规定一个粒子可以发射或吸收另一个粒子。如果发生相互作用之前只有一个粒子，则这之后可以有两个；如果发生相互作用之前有两个粒子，则这之后可以只有一个。当然，如果想搞出数学形式，则我们需要更精确地说明，哪些粒子可以融合或分裂，以及每个粒子携带的钟在相互作用时会怎样。相互作用是第十章的主题，但是它对原子的影响应该很显而易见的。如果有规则说电子是通过发射光子来相互作用，则有这种可能：氢原子中的电子吐出一个光子，失去能量而跌落至更低的能级。它也可能吸收一个光子，得到能量并跃上更高的能级。
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光谱线的存在表明，发射和吸收光子确有其事，并且这个过程通常严重偏向一种方式。具体来说，电子可以随时吐出一个光子并损失能量，但它唯一获得能量并跃上更高能级的方式是，有一个光子（或其他来源的能量）能与之相撞。在一团氢气中，这样的光子通常既少又远，而一个处于激发态的原子更可能发射一个光子，而不是吸收。最后的净效应是，氢原子倾向于退激发（de-excite）；这是说，发射率超过了吸收率，并且在一段时间后，原子会降至n=1基态。但情况并非总是如此，因为有可能通过可控的方式给原子提供能量，使其不断激发。这就是如今已无所不在的激光（laser）技术的基础。激光的基本思想是，将能量泵入原子，激发它们，并收集电子能级降低时产生的光子。当以高精度从CD或DVD表面读取数据时，这些光子非常有用：量子力学以各种形式影响着我们的生活。
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在本章中，我们用量子化能级的简单观念成功地解释了光谱线的来源。我们看似有了一种思考原子的可行方式。但有些事又不太对。我们还缺少最后一块拼图；没有它，就不能解释其他比氢更重的原子。更确切地说，也将无法解释，为何我们不会落入地面；这对描述大自然的最好理论是个问题。我们要寻找的洞见，来自奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利的工作。
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[120]大致相当于质子在烟台芝罘岛，而原子边界在隔海相望的大连某地。
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[121]这里只考虑任意纷乱但振幅不大的情形，忽略掉飞溅、泡沫等现象。
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[122]重力势，能准确映射到地形上，这个事实的内在原理是，在地球表面附近，重力势与离地面的高度成正比。（原书注）