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[123]其实根据这个原因，只能推得量子波在盒子以外为0。让我们暂且接受这个结论。
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[124]事实上，它们是由贝塞尔函数来描述的。（原书注）弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）1784年生于德国明登，1846年卒于今俄罗斯加里宁格勒，德国天文学家和数学家。（译注）
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[125]这是由能量等于1/2mv2以及p=mv得到的。这些关系的确会在狭义相对论中被修改，但相对论效应对于氢原子内的电子而言很小。（原书注）
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[126]这是一个大球，无需担心量子晃动。但是，如果你的脑海中闪过这个想法，则是一个好的迹象：你的直觉正在变得量子化。（原书注）
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[127]其实，音乐人只是可能不会这么说，而鼓手是一定不会，因为英语的“频率”（frequency）是一个超过两个音节的词。（原书注）
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[128]例如，在方阱势中n=1的情况。
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[129]除了驻波混合方式的不同，振动弦的振幅也可以变化；例如，在只以一种驻波振动的情形中，通过改变振幅，也可以改变振动弦的能量。这与作为驻波的电子不同：由于概率诠释，描述电子的驻波的振幅平方之和等于1，所以电子能量只由各驻波的混合方式决定；例如，在只有一种驻波的情形中，电子的能量是唯一确定的。
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[130]约翰·巴耳末，1825年生于瑞士劳森，1898年卒于巴塞尔，瑞士数学家、数学物理学家。
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[131]顺便一提，对于无质量粒子，由爱因斯坦的狭义相对论可推得E=cp。如果读者知道这一点，则再结合德布罗意关系，就可以立刻得到E=hc/λ。（原书注）
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[132]夏尔—奥古斯丁·德·库仑，1736年生于法国昂古莱姆，1806年卒于巴黎，法国军事工程师和物理学家。
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[133]方阱的“方”，说的是势在边界处跃变，而在阱内外分别为常数，与几何形状没有关系。本段所述三维空间中的情形，也可以称为球对称方势阱。
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[134]空气中的声波可以看成是空气压强的波动。
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量子宇宙 第七章 针锋中的宇宙（以及为何我们不会落入地面）
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我们为什么不会落入地面，这事有点神秘。认为地面是“固体”不太有说服力，尤其是在卢瑟福发现原子内几乎空无一物以后。据我们所知，自然界的基本粒子根本没有尺寸，这就更令人费解了。
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处理“没有大小”的粒子听起来很有问题，也许甚至不可能。但笔者在前几章中说的任何话，都没有预设或要求粒子有任何物理尺度。真正的点状对象即使在概念上违背常识也不一定是错的，如果阅读一本量子理论书籍的读者，到了这个阶段还能保持常识的话。当然，在未来的实验中，甚至也许是当今的大型强子对撞机（Large Hadron Collider）上，就完全可以发现，电子和夸克不是无穷小的点；只是现在来看，还没有实验为此背书，并且在粒子物理学的基本方程中也没有“尺寸”的位置。这并不是说点粒子就没有自己的问题，把有限的电荷压缩到无穷小的体积内是很棘手。但到目前为止，理论上的隐患已经被避开了。也许，发展一套引力的量子理论作为基础物理学中的未解问题，暗示了粒子的尺寸是有限的，但是还没有证据能迫使物理学者放弃基本粒子的观念。强调一下：点粒子真的没有大小。“如果我把电子分成两半会怎么样？”这个问题完全讲不通，“半个电子”的想法没有意义。
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用完全没有大小的基本物质碎片来做研究，有一个好处：面对整个可见宇宙曾被压缩到一个柚子大小的体积，甚至只有一个针尖大小，我们也不会有任何困扰。这的确匪夷所思，要想象把一座山压缩成豌豆大小就足够困难了，遑论恒星、星系，乃至可观测宇宙中3500亿个庞大的星系。但也绝对没有理由否认这样的可能性。事实上，当下诸多关于宇宙结构起源的理论，就直接涉及处在天文数字级的致密状态下的宇宙特性。这样的一些理论看似稀奇古怪，但有大量的观测证据支持。在本书的最后一章，我们会遇到致密天体，即使称不上“针锋中的宇宙”，也可以说是“豌豆中的山峦”：白矮星（white dwarf）是一种天体，将恒星的质量挤进地球大小的空间中；而中子星（neutron star）的质量则与之类似，但凝聚在城市大小的完美球体中。这些天体并不科幻；天文学家已经观测到它们，并进行了高精度的测量，而量子理论是我们计算它们的性质并用观测数据比对的基础。作为理解白矮星和中子星的第一步，我们需要解决一个更平淡的问题，也是开启本章的问题：如果地面基本上是空的，为何我们不会落进去呢？
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这个疑问有一段悠久而可敬的历史。直到1967年，才在弗里曼·戴森和安德鲁·莱纳德[135]（Andrew Lenard）的一篇论文[136]中，意外地确立了答案。他们开启这一探索旅程的原因是，有同事给任何能证明物质确实不会自行坍塌的人提供一瓶年份香槟[137]。戴森称，证明极其复杂、困难和晦涩，但也是我们量子宇宙中最迷人的一面。他们证明，只有当电子服从一种被称为泡利不相容原理（Pauli Exclusion Principle）的规律时，物质才会是稳定的。
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我们将从一些数秘术[138]开始。我们从上一章中可以看到最简单的原子——氢原子可以通过寻找质子势阱所能容纳的量子波来理解。这使我们至少能定量地理解氢原子所发出的独特光谱。如果花些时间，我们立即就可以算出氢原子的能级。每位物理系本科生都在某个学习阶段进行了这项计算，而且它效果绝佳，与实验数据一致。直到上一章的内容，“盒中粒子”的简化描述已经足够有效，因为它包含了笔者要强调的所有重点。然而，我们还需要一项完整计算中的特征，它之所以出现是因为真实的氢原子在三维中延展。对于盒中粒子的示例，我们只需考虑一维，把一系列能级数标记为n。最低能级标为n=1，次低的n=2，以此类推。当计算扩展到完整的三维情形中，结果也许并不意外，要描述所有允许的能级，需要三个数。这三个数在传统上用n，l和m表示，并被称为量子数（在本章中，注意不要把m和粒子质量混淆）。量子数n对应于盒中粒子的n。它取整数值（n=1，2，3等），而粒子能量随n变大而增加。l和m的可能取值和n有关；l必须小于n并且可以是0，例如当n=3，l可以为0，1或2。m可以取－l到+l的任何整数值。因此，如果l=2，则m可以等于－2，－1，0，1或2。笔者不打算解释这些数的来历，因为这不会帮助我们理解。只要补充说明，图6.9中的四列波分别对应(n,l)=(1,0),(2,0)和(3,0)（并且都是m=0），就足够了[139]。
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如前所述，量子数n是控制电子允许能量的主要数字。允许能量也对l的值有少许依赖，但只有在精准测量所发光的情况下才能体现。玻尔在首次计算氢原子谱线的能量时，并没有考虑这一点；他原始的公式完全用n来表示。电子的能量对m几乎没有依赖，除非把它放到磁场中（其实，m被称为“磁量子数”），但这不代表它不重要。要了解原因，我们来继续研究数秘术。
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如果n=1，有多少不同的能级呢？应用前述规则，l和m此时都只能为0，所以n=1只有一个能级。
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现在来看n=2，l可以取两个值，0和1。如果l=1，则m可以等于－1，0或+1，这就多了3个能级，总数为4。
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对于n=3，l可以是0，1或2。对于l=2，m可以等于－2，－1，0，+1或2，给出5个能级。所以总共有1+3+5=9个能级。依此类推。
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记住前三个n对应的这些数：1，4和9。现在看看图7.1，它展示了化学元素周期表（periodic table）的前四行。数出每行的元素数量，并除以2，会得到1，4，4和9。这些数的意义会很快揭晓。
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