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以这种方式来安排化学元素的功劳，通常归于俄国化学家德米特里·门捷列夫[140]（Dmitri Mendeleev）。他在1869年3月6日将元素周期表提交给俄国化学学会，这比计算出氢原子允许的能级还要早上好多年。门捷列夫按照元素原子量（atomic weight）来排列元素；这与我们现在所说的原子核中质子和中子的数量相对应，尽管门捷列夫当时也没发现这一点。元素的顺序实际上对应于核内的质子数量（中子数量无关紧要），但对于较轻的元素来说，这本身区别不大，这也是门捷列夫正确的原因。他选择将元素按照行和列排列，因为他注意到，尽管某些元素的原子量不同，但它们的化学性质却非常相似；纵列组合在一起的元素也都相类似——周期表最右端的氦、氖、氩和氪都是反应活性极低的气体。门捷列夫不仅弄对了周期规律，他还预测了新元素的存在，以填充他的周期表中的空白：1875和1886年分别发现了31和32号元素（镓和锗）。这些发现证实，门捷列夫已经发现了原子结构某些深层的东西，但当时没人知道到底是什么。
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图7.1：元素周期表的前四行。
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令人震惊的是，第一行有两个元素，第二和第三行有八个，第四行有十八个，而这些数正好是我们刚才算出的氢原子能级数的两倍。为何如此？
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如前所述，周期表中的元素，是按原子核中质子的数量从左到右排列的，而质子数与原子中电子的数量相同。还记得吗，原子都是电中性的——质子的正电荷恰好被电子的负电荷平衡。显然，某些有趣的机制将元素的化学性质与电子绕核运动所允许的能量联系在了一起。
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可以设想，通过一次次增加质子、中子与电子，用较轻的原子制造出较重的原子；要记住，在原子核中每多加入一个质子，就应该在某个能级上多加入一个电子。如果我们简单断言，每个能级能且仅能包含两个电子，就可以解出这道数秘术练习，得出我们在周期表中看到的规律。我们来看看这是如何做到的。
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氢原子只有1个电子，归入n=1能级。氦原子有2个电子，它们都会进入n=1能级。现在n=1能级已经填满了。要制造锂原子，得加入第3个电子，但它得进入n=2能级。对应于接下来的7种元素（铍、硼、碳、氮、氧、氟、氖）的7个电子，也可以坐进n=2能级，因为这个能级有4个位置，对应l=0，以及l=1时的m=－1，0和+1。这样我们就能解释直到氖的所有元素。对于氖，n=2中的能级已被填满，我们接下来得去填充n=3，从钠开始。下面8个电子依次填充n=3诸能级；电子首先填至l=0，之后是l=1。这就解释了所有第三行的元素，直至氩。对于周期表的第四行，如果我们假设它包含n=3中所有剩下的电子（即10个l=2的电子），以及n=4中l=0和l=1的电子（共8个），则这一行就可以解释了。图7.2勾勒出了我们周期表中最重的元素氪（有36个电子）的能级。
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为了把前述内容提升到科学层次而非数秘术，笔者得加以解释。首先，需要解释为何同一纵列中元素的化学性质相似。从我们的方案中可以清楚地看到，周期表前三行中的每一行，从第一个元素开始，都是按照n递增的顺序来填充能级。具体来说，从氢元素开始，先往空的n=1能级填充1个电子；第二行从锂元素开始，先往空的n=2能级中填1个电子；第三行从钠元素开始，先往空的n=3能级中填1个电子。第三行有点怪，因为n=3能级可以容纳18个电子，而第三行并没有18种元素。但我们可以猜到个中缘由——前8个电子填满了n=3中l=0和l=1的能级，之后我们（因故）得换到第四行。现在，第四行包含了n=3中其余l=2的10个电子，以及n=4中l=0和l=1能级上的8个电子。周期表中的横行并不完全与n的值相关，这个事实表明，化学与能级编号之间的关联并不像前面设想的那么简单。然而，现在我们知道，第四行的前2个元素钾和钙，确实在n=4，l=0能级上，而接下来的10个元素（从钪到锌）的新增电子都姗姗来迟，填回n=3，l=2能级上。
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图7.2：填充氪原子的能级。点表示电子，而水平线表示能级，由量子数n，l和m标记。具有相同n与l，但m不同的能级已被归为一类。
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要理解为何对n=3，l=2能级的填充要推迟到钙以后，就需要解释为何包含了钾和钙的n=4，l=0能级比n=3，l=2能级的能量更低。前面说过，原子的“基态”是电子能量最低的构型，因为任何激发态总可以通过发出光子来降低其能量。因此，说“这个原子包含坐在这些能级上的电子”时，笔者是在说电子能量最低的构型。当然，我们并没有要尝试去实际计算这些能级，所以我们并没有确实的理由将能级按能量排序。事实是，要计算包括两个以上电子的原子中电子允许的能级，就是非常困难的事情了，而即使是两电子的情形（氦）也不那么容易。能级随n增加的顺序递增，这个简单想法来自对氢原子的计算，而它要容易得多；这种情况下，确实是n=1具有最低的能量，其次是n=2，然后是n=3，依此类推。
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前述内容的明显含义是，周期表最右端的元素，对应于某一族能级刚好完全填满的原子。具体来说，对于氦，n=1能级是满的；对于氖，n=2能级是满的；而对于氩，n=3能级是满的，至少对于l=0和l=1是这样。我们可以将这些想法推进一小步，就能理解化学中一些重要的观念。幸运的是，笔者不是在写化学教材，所以可以简略处理；冒着用一段话就否定整个学科的风险，我们继续。
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关键的观察是，原子可以通过共享电子而粘在一起；下一章中，我们将在探讨一对氢原子如何结合成一个氢分子时遇到这个想法。一般的规则是，元素“喜欢”把它们所有的能级齐整地填满。对于氦、氖、氩和氪的情况，能级已经完全填满了，所以它们自己就很“高兴”，不需要为发生化学反应而“烦扰”。对于其他的元素，它们可以“尝试”与其他元素共享电子来填满能级。例如，氢原子需要一个额外的电子来填满其n=1能级。它可以通过与另一个氢原子共享1个电子来达到这个目的。这样，它就形成了1个氢分子，化学符号H2。这就是氢气存在的常见形式。碳原子在其n=2，l=0和l=1能级上的8个可能位置中有4个电子；它“希望”尽可能再得到4个电子来填满它们。可以通过结合4个氢原子来实现这一点，形成CH4，即甲烷（methane）。碳元素也可以通过结合两个氧原子，后者本身需要两个电子来填满其n=2能级。这就形成了CO2，即二氧化碳（carbon dioxide）。氧原子亦能通过结合两个氢原子来填满能级，形成H2O，即水。诸如此类。这就是化学的基础：原子若能填满其能级，即使是与相邻原子共享电子，在能量上也比较有利。追根溯源，这是来自事物趋向其最低能级的原理；原子有这么做的“意愿”，是从水到脱氧核糖核酸（DNA）的万物形成的动力。在一个富含氢、氧和碳的世界，我们现在明白了为何二氧化碳、水和甲烷都如此普遍存在。
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这是非常鼓舞人心的，但还有最后一块拼图需要解释：为何只有2个电子能占据每个可用的能级？这是泡利不相容原理的一个结果；要让上述讨论自洽，它显然是必要的。没有不相容原理，电子们就会挤在每个原子核周围最低的能级上，就不会有化学；这比初听起来要更糟，因为这样宇宙中就不会有分子，因此也就不会有生命。
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每个能级有且仅有2个电子能占据，这个想法的确看似相当武断；在历史上，当这个想法刚被提出时，没人知道为什么会是这样。最初的突破由埃德蒙·斯托纳[141]（Edmund Stoner）提出，他的父亲是一位职业板球运动员[142]（为熟读《威斯登板球年鉴》[143]的读者多提一句：这位运动员曾在1907年对阵南非队的比赛中八次击落三柱门的横木[144]），而他自己是卢瑟福的一位学生，后来管理了利兹大学物理系[145]。在1924年10月，斯托纳提出，在每个（n，l，m）能级上应该允许两个电子。泡利发展了斯托纳的提议，并于1925年发表了一条规则，在一年后被狄拉克称为泡利原理。在泡利首次提出的形式中不相容原理是说，原子中没有两个电子可以具有相同的量子数。他面临的问题是，两个电子貌似可以共享每一组n，l和m的值。泡利通过只简单引入一个新的量子数来解决这个问题。这是一条拟设，他并不知道这代表着什么。但它只能取两个值中的一个。泡利写道：“我们不能对这条规则给出更精确的理由。”1925年，乔治·乌伦贝克[146]（George Uhlenbeck）和塞缪尔·古德斯米特[147]（Samuel Goudsmit）提出了进一步见解。他们受原子光谱的精确测量结果启发，将泡利的额外量子数与一条真实、物理的电子性质等同起来，就是“自旋”（spin）。
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自旋的基本概念很简单，可以追溯到1903年，远比现代量子理论要早。在它被发现的几年后，德国科学家马克斯·亚伯拉罕[148]（Max Abraham）提出，电子是一种微小、自转的带电球。如果这是真的，则电子会受到磁场的影响，并取决于磁场与自旋的相对方向。在亚伯拉罕去世后三年，乌伦贝克和古德斯米特在他们于1925年发表的论文中指出，自旋球的模型不可能正确，因为要解释观测到的数据，电子须自转得比光速快。但这个想法的精神是正确的：电子的确有一种称为自旋的性质，它也的确影响电子在磁场中的行为。然而，自旋真正的起源是爱因斯坦的狭义相对论直接导出的微妙结果；但它直到保罗·狄拉克于1928年写下了一个描述电子的量子行为的方程之后，才被正确地理解。就我们的目的而言，只须承认电子的确有两种类型，称为“自旋向上”和“自旋向下”，而两种类型的区别在于角动量的方向相反；也就是说，它们确实像是在以相反的方向自转。遗憾的是，亚伯拉罕在电子自旋的真正本性被发现前几年就去世了，他从未放弃电子是一个小球的信念。在1923年的亚伯拉罕讣告[149]中，马克斯·玻恩和马克斯·冯·劳厄[150]（Max von Laue）写道：“他是一个可敬的对手，以诚实为武器战斗，不以悲叹和不实争论来掩饰失败……他爱他的绝对以太、他的场方程、他的刚性电子，就像年轻人爱他的初恋，这段爱恋不会被之后的任何经历磨灭。”如果我们遇到的对手都像亚伯拉罕这样，那该多好。
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本章其余部分的目标是，解释电子为何会以不相容原理所述的奇怪方式行事。跟以前一样，我们会好好利用这些量子钟。
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图7.3：两个电子的散射。
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可以通过思考当两个电子彼此“弹”回时会怎么样，来解决这个问题。图7.3说明了一种特殊的情况：两个用“1”和“2”标记的电子，从某处出发，在他处结束。最终的位置标记为A和B。阴影泡是在提醒，我们还没有考虑过两个电子相互作用的过程（个中细节和这段讨论的目标无关）。我们只需想象，电子1自其起始位置跃起，并到达标为A的位置。同样，电子2到达标为B地位置。这就是上方图所展示的状况。其实，即使忽略两个电子可能发生相互作用，我们即将提出的论点也是成立的。在那种情况下，电子1跃至A处，且对电子2的闲庭信步毫无察觉；而在位置A找到电子1且在位置B找到电子2的概率，就会是两个独立概率的乘积。
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例如，假设电子1跃至位置A的概率是45%，而电子2跃至位置B的概率是20%，在位置A找到电子1且在位置B找到电子2的概率是0.45×0.2=0.09=9%。我们在这里所做的，和掷硬币、骰子的逻辑一样：同时得到硬币“反面”和骰子“六”点的概率是1/2乘以1/6，等于（比8%多一点）[151]。
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如图所示，还有第二种方法可以让两个电子到达A和B。有可能电子1跃至B，而电子2跃至A。假设在B处找到电子1的概率是5%，在A处找到电子2的概率是20%，则在B处找到电子1且在A处找到电子2的概率是0.05×0.2=0.01=1%。
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因此，有两种方法可以让两个电子到达A和B：一种有9%的概率，另一种有1%的概率。所以，如果我们不在乎谁是谁，则一个电子到达A、另一个到达B的概率，应该是9%+1%=10%。很简单，但这是错的。
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