1700923130
1700923131
但是，如果完全无法知道哪张图是真实的情况——例如当电子彼此不可区分时，则按照我们为单个粒子从此处跃至彼处而建立的逻辑，尝试把钟合并起来。我们所追求的是更具普遍意义的规则：对于单个粒子应该把粒子能到达某特定位置的所有方式所对应的钟都加起来，这样才能确定在那个位置找到粒子的概率。对于由许多全同粒子组成的系统，考虑到达一组位置的所有不同方式，应该把与这些方式所关联的所有钟都合并在一起，才能确定这些粒子在这组位置被找到的概率。这一点很重要，足够值得多读几遍；应该很清楚，这条合并钟的新规则，是我们一直以来用于单个粒子的规则的直接延展。然而，你可能已经注意到，我们在措辞上非常小心。笔者并没有说，这些钟一定要加在一起，而是说它们应该被合并起来。笔者的谨慎是有充分理由的。
1700923132
1700923133
最显而易见的做法，是把钟都加起来。但在跃进之前，我们应该先问一下，是否有好的理由能说明这是对的。这是一个很好的例子，说明在物理学中不要想当然；对假设的探索，往往带来新的见解，在本例中亦是如此。我们来退一步，想想最一般的做法。这会是在把钟相加之前，允许将其中一块钟旋转或者收缩的可能性。我们来更详细地探索一下这种可能性。
1700923134
1700923135
现在是这样：“我有两块钟，想把它们合并成一块钟，这样就能知道在A和B发现这两个电子的概率是多少。我该怎么合并它们呢？”我们并没有先入为主地给出回答，因为我们想要理解，钟的相加是否真的是我们应该使用的规则。可以发现，我们能有的选择并不多；钟的相加是仅有的两种可能性之一，这真是耐人寻味。
1700923136
1700923137
为了简化讨论，我们来把粒子1跃至A且粒子2跃至B所对应的钟称为钟1。这就是图7.3中与上方图相关联的钟。而钟2则对应另一选项，即粒子1跃至B且粒子2跃至A。这里有一条重要的认识：如果在将钟1与钟2相加之前先旋转前者，则我们计算出的最终概率必须与选择先将后者做相同旋转时的概率相同。
1700923138
1700923139
要看出这一点，注意到交换图中的标签A和B显然并不能改变什么，而只是用不同的方式描述同一个过程。但是，交换A和B，也会交换图7.3中的上下图。这就是说，如果我们决定在把钟1与钟2相加之前先旋转前者（对应于上方图），那么在交换标签A与B后，这必须精确对应于先旋转钟2再相加。这段逻辑推理至关重要，值得三令五申。由于已经假定无法分辨两个粒子之间的区别，因此我们可以将标签互换。这意味着，旋转钟1与将钟2转过相同圈数，必须给出相同的答案，因为无法区分两块钟。
1700923140
1700923141
这项观察并非善类：它给出了一个非常重要的结果。因为要将钟旋转和缩小之后再加起来，有且仅有两种可能的方法可以让得到的最终结果不依赖于一开始选择对哪块钟做这些操作。
1700923142
1700923143
1700923144
1700923145
1700923146
图7.4：上方图显示，在将钟1旋转90度后再把钟1和2相加，与先将钟2旋转90度再把它们相加，是不一样的。下方图显示了一个有趣的可能性：我们可以把一块钟旋转180度再相加。
1700923147
1700923148
图7.4展示了这一点。上方图说明，如果将钟1旋转90度再与钟2相加，则得到的结果与先将钟2旋转90度再与钟1相加不同。我们能看出这一点是因为，如果先旋转钟1，则由点线箭头表示的新指针与钟2的指针指向相反的方向，因此它们部分抵消。而旋转钟2的指针则会使其与钟1的指针指向相同方向，它们相加就会得到更大的指针。
1700923149
1700923150
应该很清楚，90度并不特殊；选择其他的旋转角度，也会给出一个相加结果与钟1和钟2谁被旋转有关。
1700923151
1700923152
一个明显的特例是钟转过的角度为0，因为先将钟1旋转0度再与钟2相加，与先将钟2旋转0度再与钟1相加，显然是完全相同的。这就是说，把钟加起来并不做任何转动，也是有可能的。类似地，将两块钟转过相同的角度也能行，但这与“不旋转”的情形是一样的，对应于重新定义“12点”。这相当于是说，我们可以自由地将所有的钟都转过相同的角度，只要是每一块钟都这么做，那就永远不会影响到我们想要计算的概率。
1700923153
1700923154
图7.4的下方图说明，还有一种方法可以把钟合并起来，或许有点令人惊讶：我们可以把其中一块转过180度，再与另一块相加。这并不能在两种情形下产生完全相同的钟，但是它确实产生了相同大小的钟，这意味着转过180度的做法能给出在A处找到一个电子并在B处找到另一个的概率是相同的。
1700923155
1700923156
用类似的推理可以排除在相加前收缩或者拉伸其中一块钟的可能性；因为如果我们将钟1收缩一定比例，再与钟2相加，则这通常与将钟2缩小相同的量，再与钟1相加，是不一样的；而且收缩与旋转不同，没有例外情况。
1700923157
1700923158
因此可以得出一个有趣的结论。尽管我们一开始给了自己完全的自由，但我们发现，由于无法区分粒子，实际上只有两种方法可以把钟组合起来：可以把它们直接相加，或者把其中一块钟旋转180度再相加。真正令人高兴的是，大自然利用了这两种可能性。
1700923159
1700923160
对于电子，在把钟相加之前，必须额外加入半圈旋转。对于像光子或希格斯玻色子这样的粒子，相加之前无需旋转。因此，大自然中的粒子分成两类：需要旋转的叫作费米子[153]（fermion），无需的叫作玻色子[154]（boson）。什么决定了一个特定的粒子是费米子还是玻色子？是自旋。
1700923161
1700923162
顾名思义，自旋是粒子角动量[155]的一种体现；事实上，费米子的自旋总是等于某个半整数[156]，而玻色子的自旋总是整数。我们说电子具有自旋1/2，光子具有自旋1，而希格斯玻色子具有自旋0。在本书中，笔者一直避免深入处理自旋，因为它在多数情况下都是技术细节。然而，在讨论元素周期表时，我们的确需要一个结果，即电子有两种类型，对应于其角动量的两种可能（自旋向上和自旋向下）。这是一个符合一般规律的例子，即自旋s的粒子通常有2s+1种；例如，自旋1/2的粒子（如电子）有2种类型，自旋1的粒子有3种，而自旋0的粒子有1种。粒子的内禀角动量与钟组合方式之间的关系，被称为自旋-统计定理（spin-statistics theorem）；要使量子理论的形式和爱因斯坦的狭义相对论相容，它就会出现。更具体地说，自旋-统计定理是确保不违反因果律[157]的直接结果。不幸的是，自旋-统计定理的推导超出了本书水平——实际上，它超出了很多书的水平。在《费曼物理学讲义》[158]中，理查德·费曼是这样说的：
1700923163
1700923164
很抱歉，对于这个问题我们不能给出一个简单的解释，泡利曾以量子场论和相对论的复杂论证作出过一个解释；他指出，量子场论和相对论必须一起应用。但我们无法在初等的水平上找到一种方法来重复他的论证。看来这是物理学中不多的情形之一，它们之中有能表述得非常简明的规则，但是没人能找到简单而又容易的解释。
1700923165
1700923166
1700923167
1700923168
考虑到理查德·费曼是在一本教科书上写下此语，笔者必须举手赞同。但是，这条规律很简单，而你必须相信，它是可以被证明的：对于费米子，必须旋转半圈，而对于玻色子，无需旋转。可以证明，旋转就是不相容原理的原因，因此也是原子结构之所以如此的原因；并且，经过我们的艰苦努力，现在它也能被解释得很简单。
1700923169
1700923170
想象将图7.3中A点和B点越移越近。当它们非常靠近时，钟1和钟2的大小一定很接近，指示的时间也差不多。当A和B完全重合时，两块钟必须完全一样。这应该显而易见，因为钟1对应粒子1运动到A点，而由于A和B重合，钟2在这种特殊情形中代表完全一样的东西。尽管如此，我们仍有两块钟，必须把它们加起来。但这里有一个问题：对于费米子，必须先将其中一块钟转过180度。这意味着，当A和B在相同位置时，钟的读数总是完全“相反”——如果一块钟是12点，则另一块钟是6点——因此把它们加起来，总会得到一块大小为零的钟。这是个迷人的结果，因为它意味着在相同位置找到这两个电子的机会永远是零：量子物理学定律使它们彼此避开。它们愈接近对方，产生的钟就愈小，这种接近就愈不可能发生。这就是著名的泡利不相容原理的一种表述方式：电子会互相避开。
1700923171
1700923172
我们最早的出发点是想要展示，氢原子中没有两个相同的电子可以处于同一能级。我们还没有完全证明这一点，但电子会互相避开的概念显然对原子以及我们为何不会落入地面有所影响。现在我们知道了，我们鞋的原子包含的电子与地面的电子不仅是由于同性电荷相斥而相互推开；根据泡利不相容原理，它们也因自然的互相避开而排斥。原来，正如戴森和莱纳德所证明的那样，是电子的避让使我们真正免于落入地面，并迫使电子占据原子内部的不同能级，使原子具有结构，最终产生了我们在大自然中看到的各种化学元素。这显然是对日常生活具有非常重大影响的物理现象。在本书的最后一章中，笔者将展示，泡利原理在对于避免一些恒星在其自身引力作用下坍缩也起到了何种至关重要的作用。
1700923173
1700923174
最后，我们要解释一下：如果没有两个电子可以在同一时刻位于同一地点，则原子中也没有两个电子可以有相同的量子数；也就是说，它们不可能具有相同的能量和自旋。如果考虑两个自旋相同的电子，则我们希望证明，它们不能处于相同的能级。如果它们真的处于相同的能级，则每个电子必定被描述为分布在空间中完全相同的钟的阵列（对应于相关的驻波）。对于空间中的每一对位置——标记为X和Y——则有两块钟。钟1对应于“电子1在X”和“电子2在Y”，而钟2对应“电子1在Y”和“电子2在X”。从之前的考量中我们知道，这些钟应该在将其中一块旋转6小时后再相加，只有这样才能得出，在X处找到一个电子而在Y处找到第二个的概率。但如果两个电子能量相同，则钟1和钟2在关键的额外旋转之前必定完全相同。在旋转之后，它们的读数会“相反”，且和先前的例子一样，加起来得到没有大小的钟。任何位置的X和Y都会这样，因此找到一对驻波构型相同从而能量也相同的电子，概率完全是零。归根结底，这就是你体内原子稳定性的由来。
1700923175
1700923176
[135]安德鲁·莱纳德，1927年生于匈牙利的包尔毛兹新城，美籍数学物理学家。
1700923177
1700923178
[136]《物质的稳定性》两篇论文，发表于《数学物理期刊》第8卷第423页及第9卷第698页。
1700923179