1700923925
这些就是对我们计算的基础的概述。现在我们可以往下走，并忘掉所有核聚变的事情，因为我们的兴趣已经不在燃烧的恒星上了。相反，我们希望了解死亡恒星内部的情况。想要知道，被挤压的电子所产生的量子压力是如何平衡引力，以及如果电子运动速度过快，这种压力是如何变小的。因此，我们研究的中心是一个平衡游戏：引力与量子压力的对决。如果能使其平衡，就能得到白矮星，但如果引力获胜，就会发生灾难。
1700923926
1700923927
虽然与计算无关，但我们不能在紧要关头置之不理。一颗大质量恒星内爆后，它还有两种选择。如果它质量不太大，则恒星会继续挤压质子和电子，直到它们也融合产生中子。具体来说，一个质子和一个电子自发转变成一个中子，并发射出一个中微子；这同样是通过弱相互作用完成。这样，恒星就无情地转化成一个由中子构成的小球。用俄国物理学家列夫·朗道[261]（Lev Landau）的话来说，恒星转化成“一个巨大的原子核”。朗道在他1932年的著作《论恒星的理论》中写下了这些话，就在这书交稿印刷的同一个月，詹姆斯·查德威克[262]（James Chadwick）发现了中子。如果说朗道预言了中子星的存在，可能言过其实；但是，他以超凡的先见之明，肯定预见到了什么类似的东西。也许功劳该归于沃尔特·巴德[263]（Walter Baade）和弗里茨·兹威基[264]（Fritz Zwicky），他们于次年写道：“我们慎重地提出这个观点：超新星[265]（supernova）表示普通恒星向中子星的转化；在最终阶段，它由极紧密的中子所组成。”人们认为这个观点极其古怪，以至于有人在《洛杉矶时报》上发表了戏仿漫画（见图12.1）。直到1960年代，中子星仍只是理论上的有趣发现。
1700923928
1700923929
1700923930
1700923931
1700923932
图12.1：1934年1月19日《洛杉矶时报》上的漫画。
1700923933
1700923934
1965年，安东尼·休伊士[266]（Antony Hewish）和塞缪尔·奥科耶[267]（Samuel Okoye）发现了“蟹状星云中一个不寻常的高射电亮度温度（radio brightness temperature）源的证据”，尽管他们未能确定这是一颗中子星。支持这一结论的证据于1967年由约瑟夫·什克洛夫斯基[268]（Iosif Shklovsky）发表，以及不久之后，经过更详细的观测，由约瑟琳·贝尔[269]（Jocelyn Bell）和休伊士本人再次发表。作为宇宙中最奇特的天体之一，这第一颗中子星，后来被命名为“休伊士-奥科耶脉冲星[270]（pulsar）”。有趣的是，早在一千年前，那颗创造了休伊士-奥科耶脉冲星的超新星就曾经被天文学家观测到。1054年的这颗有史以来最亮的超新星被中国天文学家观测到[271]，以及如一幅著名的悬崖壁画所示，也被美国西南部、查科峡谷[272]的居民观测到。
1700923935
1700923936
我们还没有谈到，这些中子是如何抵抗引力并防止进一步坍缩的，但你大概能猜到是怎么回事。中子（类似电子）受泡利原理奴役，它们也能阻止进一步的坍缩。所以就像白矮星一样，中子星也代表了恒星生命可能的终点。就我们的故事而言，中子星是一条岔路；但不能不提到，中子星是我们奇妙宇宙中的一些非常特殊的物体：它们是城市大小的恒星，密度大到一茶勺的量就有一座山那么重，完全由自旋1/2粒子间的天然厌恶所支撑。
1700923937
1700923938
对于宇宙中质量最大的恒星，连其中的中子都已接近光速运动，就只剩下了一个选择。灾难等待着降临到这样的巨星，因为中子已经无法产生足够的压力来抵抗引力。目前已知的物理机制还无法阻止一个超过三倍左右太阳质量的恒星向自身塌陷，最终就成了黑洞（black hole）：一个众所周知物理定律崩坏的地方。大自然的法则大概不会停止运行，但要正确理解黑洞内部，需要一个引力的量子理论，它现在还不存在。
1700923939
1700923940
现在是时候回到正题，专注于我们的双重目标了：证明白矮星的存在，并计算钱德拉塞卡质量。我们知道要如何做：必须平衡电子压力与引力。这仅用头脑可计算不出来，所以制订一个行动方案比较好。下面就是方案；它相当长，因为我们要先弄清一些背景细节，为实际计算做好准备。
1700923941
1700923942
第一步：需要确定在恒星内部由于电子高度压缩而产生的压强是多少。你可能会奇怪，为什么我们不担心恒星内部的其他东西——原子核和光子呢？光子不受泡利不相容原理的影响，并且只要时间足够长，它们总会离开恒星。它们没法对抗引力。至于原子核，半整数自旋的原子核是受泡利不相容原理约束的，但（后面会看到）它们的质量较大，这意味着它们施加的压力比电子小，我们可以安心地忽略它们对平衡游戏的贡献。这极大地简化了问题——电子压力就是所需的一切，这也是我们将要关注的。
1700923943
1700923944
第二步：在弄清楚电子压力后，我们需要完成平衡游戏。要如何继续进行，也许并不明显。嘴上会说“引力向内拉，电子往外推”，但要给这句话添上一个数可就是另一回事了。
1700923945
1700923946
恒星内部的压力是变化的；中心的压力更大，而表面的更小。压力梯度的存在至关重要。想象恒星内部某处有一个恒星物质组成的立方体，如图12.2所示。引力会将立方体拉向恒星中心，而我们想知道的是电子产生的压力要如何抵消它。电子气体[273]中的压强，对立方体的六个面都施加了一个力，它等于该面上的压强[274]乘以该面的面积。这个陈述很精确；此前我们都在用“压力”一词，若你有足够的直观认识，就会知道高压气体比低压气体的“推力”更大。每个给瘪轮胎打过气的人都知道这一点。
1700923947
1700923948
1700923949
1700923950
1700923951
图12.2：恒星内部某处的一个小立方体。箭头表示恒星中的电子对立方体施加的压力。
1700923952
1700923953
想要正确理解压力，就需要暂时转入我们更熟悉的领域。继续以轮胎为例，物理学者会说，轮胎瘪了，是因为胎内气压过低，若轮胎不变形，就不足以支撑车的重量；这就是为什么总得打足气。我们可以继续计算，如果希望轮胎与地面接触长为5厘米，则质量为1500kg的汽车的正确胎压是多少，如图12.3所示；又到了粉笔灰时间。
1700923954
1700923955
1700923956
1700923957
1700923958
图12.3：轮胎在承受车重时轻微变形。
1700923959
1700923960
如果轮胎有20厘米宽，而我们希望轮胎与路面接触有5厘米长，则轮胎与地面的接触面积是20×5=100平方厘米。所需要的胎压还不知道——这是我们要计算的——所以我们用符号P来表示它。需要知道轮胎内空气对地面施加的向下的力。这等于压强乘以轮胎与地面接触的面积，即P×100平方厘米。我们应该将其乘以4，因为车有4个轮胎：P×400cm2。这就是轮胎内气体对地面施加的合力。可以这样想：胎内空气分子不断冲击地面（说得严谨一点，它们是在冲击接触地面的轮胎橡胶，但这并不重要）。地面通常不会让步，它在这种情况下会以大小相等但方向相反的力（所以确实用到了牛顿第三定律）推回去。汽车被地面抬起，又被重力拉下；由于它既未沉入地下也没跃入空中，我们知道这两个力一定是相互平衡的。因此，可以在P×400cm2的向上推力与向下的重力之间写下等号。后者就是汽车的重量，而我们知道如何用牛顿第二定律来计算它，F=ma，其中a是地球表面的重力加速度，等于9.81m/s2。所以重量是1500kg×9.8m/s2=14700牛顿（1牛顿等于1kg·m/s2，大致相当于一个苹果的重量）。这两个力相等，意味着：
1700923961
1700923962
P×400cm2=14700N
1700923963
1700923964
这个方程很容易解：P=(14700/400)N/cm2=36.75N/cm2。36.75牛顿每平方厘米的压强，可能不是一种非常常见的胎压陈述方式，但可以把它转化成更熟悉的“巴”（bar）。1巴是标准大气压，等于100000牛顿每平方米。一平方米有10000平方厘米，所以每平方米100000牛顿相当于每平方厘米10牛顿。因此，所需的胎压为36.75/10=3.7巴（或53磅每平方英寸——你也可以自行计算）。还可以利用我们的公式推断，如果胎压降低50%至1.85巴，则轮胎与地面的接触面积将增至2倍，从而使轮胎更瘪。在复习完压强课程后，我们可以回到图12.2中的恒星物质小立方体上了。
1700923965
1700923966
如果立方体的底面更接近恒星的中心，则这个面所受的压力应该比顶面所受的压力要大一些。这个压力差在立方体上产生的合力，想把立方体推离恒星的中心（图中“向上”），而这正是我们想要的，因为同时立方体会被重力拉向恒星的中心（图中“向下”）。如果能搞清楚如何平衡这两个力，那么我们对恒星就会有更多了解。但这知易行难，因为虽然第一步能算出立方体被电子压力向外推的程度，但我们还得算出重力向相反方向拉的程度。顺便一提，无需担心立方体侧边的压力，因为侧边到恒星中心距离相等，所以左侧的压力会与右侧平衡，这就保证了立方体不会向左或向右移动。
1700923967
1700923968
要计算出立方体所受的引力，需要利用牛顿的万有引力定律；它告诉我们，恒星内每一块物质对这个小立方体的拉力都是愈远愈小。所以，较远的物质比较近的拉力要小。不同位置的恒星物质对立方体的引力大小不同，取决于距离。要处理这个问题，看似有些棘手，但我们至少能在原则上看出来，应该把恒星切成很多小块，然后计算出对每一块小立方体的力。幸运的是，我们不必去想象真的把恒星切碎，因为可以利用一个非常漂亮的成果。高斯公式（以传奇的德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯[275]的姓氏命名）告诉我们：(a)可以完全忽略比小立方体到恒星中心的距离更远的小块；(b)所有比小立方体到恒星中心更近的小块，其净引力效应正好和这些小块全都挤在恒星的正中心时一样。利用高斯公式并结合万有引力定律，我们可以说，小立方体受到将其拉向恒星中心的力，它等于：
1700923969
1700923970
1700923971
1700923972
1700923973
其中Min是恒星中以立方体与中心距离为半径的球体内部的质量，Mcube是立方体的质量，r是立方体到恒星中心的距离（G是牛顿引力常数）。例如，如果小立方体位于恒星表面，则Min就是恒星的总质量。对于其他的所有位置，Min都比这个质量小。
1700923974