1700923975
我们现在取得了一点进展，因为要平衡小立方体上的力（请注意，这是为了让立方体不运动，进而阻止恒星爆炸或坍缩[276]），就要求
1700923976
1700923977
1700923978
1700923979
1700923980
（1）
1700923981
1700923982
其中Pbottom和Ptop是电子气体在小立方体上下两面施加的压强，A是立方体每个面的面积（记住，压力等于压强乘以面积）。我们把这个方程标记为“(1)”式，因为它非常重要，我们要经常引用它。
1700923983
1700923984
第三步：泡一杯茶并自鸣得意，因为在第一步之后，我们就会计算出压强Pbottom和Ptop，而第二步就弄清楚了如何使得二力平衡。但真正的工作还没有来，因为还需要实际执行第一步，并确定(1)式中等号左侧的压强差。这就是接下来的任务。
1700923985
1700923986
想象一颗恒星，内部挤满了电子和其他东西。电子是如何分布的呢？我们来把注意力集中在一个“典型”电子身上。我们知道，电子服从泡利不相容原理，这意味着在空间的同一区域不可能找到两个相同的电子。对于恒星中被笔者称为“电子气体”的电子海洋，这又意味着什么呢？因为电子之间必然是相互分离的，所以可以假设，每个电子都孤独地位于恒星内一个微小的假想正方体内。实际上，这并不完全正确，因为我们知道电子有两种类型“自旋向上”和“自旋向下”，而泡利原理只禁止相同的粒子靠得太近，也就是说一个正方体内可以容纳两个电子。这与电子不服从泡利原理的假想情况会形成对比。在那种情况下，“虚拟容器”中将不会有多余两个电子被束缚的情况。相反，它们可以分散开来，享受更大的活动空间。其实，如果我们忽略电子之间以及电子和恒星内其他粒子的相互作用，则它们的活动空间将不受限制。
1700923987
1700923988
我们知道当一个量子粒子被束缚时会怎么样：根据海森伯不确定性原理，它会四处跃动；而且被束缚得愈紧，跃得愈多。也就是说，随着白矮星前身的坍缩，其中的电子也被束缚得愈来愈紧，而这让它们愈发躁动。正是由于它们的躁动所施加的压力，才会阻止引力坍缩。
1700923989
1700923990
我们可以做得比说的更好，因为可以用海森伯不确定性原理来确定电子的典型动量。具体来说，如果将电子约束在尺寸为Δx的区域内，则它会按照典型动量P~h/Δx四处跃动。实际上，在第四章中曾经论证过，这更像是动量的上限，而典型动量是零到这个值之间的某个数。这条信息先记下来，之后会用到。知道了动量，就能立刻了解两件事。第一，如果电子不服从泡利原理，则它们就不会被约束在Δx大小的区域内，而会是一个大得多的区域。这又会导致抖动得更少，意味着压强更小。所以，泡利原理是如何进入游戏的，就很清楚了：它挤压电子，使得电子通过海森伯不确定性原理进行特强抖动。过一会儿，我们会把这个超强抖动的想法用公式表达出来，算出压强；但现在我们应该谈谈可以了解的第二件事。因为动量p=mv，所以抖动的速度还反比于质量；故而电子的四处跳动，与同样构成恒星的原子核的相比，要有力得多；这就是原子核施加的压力不重要的原因。那么，我们要如何用电子的动量算出类似电子所构成的气体的压强呢？
1700923991
1700923992
首先要做的是，计算出包含这对电子的小正方体有多大。它的体积是（Δx）3；由于所有的电子都必须装进恒星里，我们可以将这个体积用恒星体积（V）除以恒星内的电子总数（N）来表示。需要正好N/2个容器，来容纳所有的电子，因为每个容器中可以放两个电子。这意味着每个容器所占的体积是V除以N/2，等于2(V/N）。下文中会大量用到N/V这个（恒星内单位体积中的电子数）量，所以我们用一个单独的符号n来表示它。现在可以写下，要容纳下恒星内所有的电子，每个容器的体积得是多少，即（Δx）3=2/n。取等号右侧的立方根，就能算出：
1700923993
1700923994
1700923995
1700923996
1700923997
现在可以把这个式子代入到不确定性原理中，得到电子由于量子抖动贡献的典型动量：
1700923998
1700923999
1700924000
1700924001
1700924002
（2）
1700924003
1700924004
其中～符号表示“大致等于”。显然这有些模糊，因为电子不会以完全相同的方式抖动：有一些比典型值更快，另一些更慢。海森伯不确定性原理并不能告诉我们到底有多少个电子在以这个速度运动，有多少个以那个速度运动。相反，它给出了一个更“宽泛”的陈述，说如果你挤压电子的活动空间，那么它会以大致等于h/Δx的动量抖动。我们就取这个典型动量，并假设所有的电子都这样运动。这样做会损失一点精度，但能极大地简化计算，并且我们思考物理的大方向肯定是正确的[277]。
1700924005
1700924006
现在我们知道了电子的速度，这足以计算出它们对小立方体施加的压力。要看出这一点，想象一队电子以相同的速率（v），共同向一面平面镜的方向前进。它们撞上镜面后又弹回来，再次以相同的速率，向与之前相反的方向运动。我们来计算一下这队电子对镜面施加的力。之后我们可以尝试更现实的计算，其中电子并不都向相同方向运动。这种首先考虑待解决问题的一个简化版本的方法在物理学中非常常见。这样就可以研究物理，而不至于贪多嚼不烂，还能增强信心；在这之后再解决更困难的问题。想象这队电子每立方米中包含n个粒子。为方便论证，假设其截面是圆形，面积为1平方米，如图12.4所示。在1秒钟内，将有nv个电子击中镜面（如果v的单位是米每秒的话）。我们知道，从镜面出发到v×1秒距离，这个范围内所有的电子都将在1秒内撞上镜面，即图中画出的圆柱体内的电子。由于圆柱的体积等于其横截面积乘以长度，因此这个圆柱的体积等于v立方米，而因为每立方米体积内有这队电子里的n个，所以每秒钟有nv个电子击中镜面。
1700924007
1700924008
1700924009
1700924010
1700924011
图12.4：一群电子（小点）都朝同一个方向前进。这样尺寸的管子里所有电子每秒钟都会撞到镜子上一次。
1700924012
1700924013
当每个电子从镜面上不损失能量地弹回时，其动量的方向会反转，这意味着每个电子的动量改变量为2mv。现在，就像要把一辆行进的巴士停下来并倒行需要一个力一样，要把电子的动量反转也需要一个力。这又得用到艾萨克·牛顿的工作。在第一章中，我们将它的第二定律写成F=ma，但这是更普遍情形的一种特例，即力等于动量的变化率[278]。因此，整队电子将在镜面上施加合力F=2mv×(nv)，而这是每秒队中电子动量的总变化量。由于电子束的面积为1平方米，这也等于队中电子对镜面施加的压力。
1700924014
1700924015
从电子队到电子气只需要向前一小步。电子并不是齐步向着同一个方向前进；必须考虑到，一些电子向上运动，一些向下走，一些向左，等等。最后的净效果是，任何一个方向的压力将减小一个因子6（想想正方体的六个面），变成F=2mv×(nv)/6=nmv2/3。我们可以将式子中的v，用由海森伯原理估计的典型电子速度，即(2)式来代替，从而得到白矮星中电子压强的最终结果[279]：
1700924016
1700924017
1700924018
1700924019
1700924020
你可能还记得，前面说过这只是近似计算。使用更多的数学算式之后，得到的完整结果是：
1700924021
1700924022
1700924023
1700924024