1700924025
（3）
1700924026
1700924027
这是个不错的结果。它告诉我们，恒星内某处的压强，与那里每单位体积内的电子数的5/3次幂成正比。不必担心，在近似处理中，我们没有把比例系数弄对——重要的是，除此以外的其他一切都是对的。事实上，前面已经说过，我们对电子动量的估计可能有点过大，这就解释了为什么我们对压强的估计比真实值要大[280]。
1700924028
1700924029
用电子数密度来表示压强，是一个好的开始；但使用实际的恒星质量密度来表示压强，更符合我们的目的。可以非常安全地假设，恒星的绝大部分质量来自原子核，而非电子（一个质子的质量几乎是电子的2000倍）。我们还知道，恒星中电子的数量必须等于质子的数量，因为恒星是电中性的。为了得到质量密度，需要知道恒星内部每立方米有多少个质子和中子；我们不应该忘记中子，因为它们是核聚变过程的副产品。对于较轻的白矮星，核心主要是氢核聚变的最终产物氦-4，这意味着质子和中子的数量相等。现在需要引入一点记号。原子量A，通常用于计算原子核内质子和中子的总数，而对于氦-4，A=4。原子核中的质子数用符号Z表示，对于氦来说，Z=2。现在我们可以写下电子数密度n与质量密度ρ的关系：
1700924030
1700924031
n=Zρ/(mpA)
1700924032
1700924033
而我们假设质子质量mp与中子质量相同；这对于我们的目的已经足够精确了。mpA这个量是每个原子核的质量，而p/mpA则是每单位体积的原子核数量，再用Z乘以这个量就得到了单位体积内的质子数，这就是等式所表达的含义。
1700924034
1700924035
我们可以用这个等式代替(3)式中的n；由于n与ρ成比例，所以得出的结果是，压强随着密度的ρ次幂成比例变化。我们刚刚发现的这一突出的物理现象是：
1700924036
1700924037
P=κρ5/3
1700924038
1700924039
（4）
1700924040
1700924041
而定下压强大小的纯粹数字倒不必太过于担心，这就是我们把它们都绑进符号κ的原因。值得注意的是，κ取决于Z和A之比；因此对于不同种类的白矮星，它的值会有所不同。把一些数绑进一个符号中，有助于“看出”哪些才是重要的。在本例中，这些符号可能会分散我们对要点的注意力，就是恒星中压强和密度的关系。
1700924042
1700924043
在继续之前，请注意，量子抖动产生的压强，并不依赖于恒星的温度。它只与恒星受挤压的程度有关。如果考虑到温度，电子会因此而“正常”地颤动，并贡献额外的压强；而恒星愈热，它就颤动得越厉害。我们没有讨论来自这一部分的压强，因为时间不够；并且如果真的去计算，会发现它在大得多的量子压强面前相形见绌。
1700924044
1700924045
最后，我们已经准备好将量子压强的表达式代回关键的(1)式，这里值得再写一遍：
1700924046
1700924047
1700924048
1700924049
1700924050
（1）
1700924051
1700924052
但这并不像听起来那么容易，因为还需要知道小立方体上下两面的压强差。可以完全用恒星内部的密度来重写(1)式，而密度本来就是随着恒星内的位置不同而变化的（一定得是这样，否则就不会有压强差了），然后就可以尝试通过解方程来确定密度是如何随着到恒星中心的距离而变化的。这么做就要解一个微分方程（differential equation），而笔者希望避免这种程度的数学。相反，我们要更讲策略，想得更努力（并且计算得更少），以便利用(1)式来推导出白矮星的质量和半径之间的关系。
1700924053
1700924054
显然，这个小立方体的尺寸和它在恒星中的位置都是完全任意的；我们要得出的关于整体恒星的结论不能依赖于小立方体的细节。我们先来做一些可能看似毫无意义的事情。完全可以用恒星的尺寸来表示立方体的位置和大小。如果R是恒星的半径，则可以将立方体到恒星中心的距离写作r=aR[281]，其中a是一个介于0和1之间的无量纲（量纲是dimension）数。所谓无量纲，就是说它是纯粹的数，不含有单位。如果a=1，立方体就在恒星的表面；而如果a=1/2，则它在中心到表面一半的位置。类似地，可以用恒星的半径来表示小立方体的尺寸。如果L是立方体的边长，则可以写成L=bR，其中b又是一个纯数；如果希望立方体相对恒星很小，则b也会很小。这里面绝对没有什么深奥的东西；在这个阶段，一切都很明显，乃至看似没有意义。唯一值得注意的是，R是一个十分自然的长度单位，因为没有其他任何跟白矮星有关的长度可以合理地替代它。
1700924055
1700924056
我们可以继续用类似的方法困扰自己，用恒星的平均密度来表示立方体所处位置的恒星密度，即写成ρ=fρ，其中f还是一个纯数，而是恒星的平均密度。如前所述，立方体的密度取决于它在恒星内部的位置：如果更接近中心，它的密度就会更大。既然ρ平均密度与小立方体的位置无关，那么f就得与之相关，即f得由距离r所决定，这显然意味着它取决于乘积aR。现在这里是决定剩余计算的关键信息：f是一个纯数，但R不是（因为它度量距离）。这意味着f只能取决于a，而和R毫无关系。这是一个非常重要的结论，因为它告诉我们，白矮星的密度分布曲线是“尺度不变”（scale invariant）的。这就是说，无论恒星的半径是多少，它的密度都会以相同的方式随半径而变化。例如，在距离中心3/4的地方，无论恒星尺寸如何，那里的密度与白矮星平均密度的比值对于所有白矮星都一样。有两种方法可以看出这个结果的关键性，笔者认为应该把它们都展示出来。我们中的一人是这样说的：“这是因为，任何函数，如果是无量纲的，它的变量就必须也是无量纲的；而对于函数f，它依赖于有量纲的r，则能作为其变量的、唯一的无量纲组合是r/R=a，因为R是我们所知唯一具有长度量纲的量。”
1700924057
1700924058
另一位笔者觉得下面的话更清楚：“一般而言，f可以由r以复杂的方式决定，而后者即小立方体与恒星中心距离。但为了本段的说明，我们假设它们是简单的成正比，即f∝r。换言之，f=Br，其中B是一个常数。这里的关键是，我们希望f是一个纯数，而r是以（比如说）米为单位。这意味着B必须以1/米为单位，这样长度单位才能互相抵消。那么从结果来看，B会是什么呢？我们不能随意选一些东西，比如‘1米的倒数’，因为这没有意义，与恒星毫无关系。比如说，为什么不选1光年的倒数，并且得到截然不同的正比关系呢？我们手头唯一的长度是R，即恒星的物理半径，所以我们被迫用它来确保f永远是一个纯数。这意味着f只取决于r/R。应该可以看到，如果我们开始时的假设是，比如说f∝r2，也会得出相同的结论。”这些其实和前一位笔者说的一样，只是更长。
1700924059
1700924060
这个结论意味着，可以将尺寸为L、体积为L3的小立方体的质量，表示为Mcube=f(a)L3ρ。我们把f写成f(a)，是为了提醒你，f实际上只取决于我们对a=r/R的选择，而与恒星大规模的性质无关。用相同的论证还可以写下Min=g(a)M这个式子，其中g(a)也只是a的函数。例如，函数g(a)在a=1/2时的值就会告诉我们，具有一半恒星半径的同心球体，其质量占恒星质量的比例；并且它对于所有白矮星都是一样的，与具体的白矮星半径无关，这在前一段已经论证过了[282]。你可能已经注意到，我们在稳步处理(1)式中出现的各种符号，用无量纲的量（a、b、f和g）乘以只和恒星质量及半径有关的量（恒星的平均密度也由M和R决定，因为ρ=M/V，而根据球体积公式，V=4πR3/3）来代替它们。要完成任务，只需对压强差进行相同的处理；可以写作Pbutton－Ptop=h(a,b)κρ5/3，其中h(a,b)是一个无量纲的量。h(a,b)由a和b共同决定，是因为压强差不仅取决于小立方体的位置（由a表示），还取决于立方体的大小（由b表示）：较大的立方体，对应的压强差也较大。关键是，和f(a)与g(a)类似，h(a,b)也不能单单与恒星的半径有关。
1700924061
1700924062
可以用刚刚推导出的表达式，重新写出(1)式：
1700924063
1700924064
1700924065
(hκρ5/3)×(b2R2)=
1700924066
1700924067
这看起来有点乱，不太像是在一页内就能中大奖。关键之处在于，这是在表达恒星的质量与半径的关系；两者间的具体关系已经近在眼前（或者远在天边，这取决于你的数学能力）。在代入恒星的平均密度[即ρ=M/(4πR3/3)]之后，这个乱七八糟的式子可以整理成
1700924068
1700924069
RM1/3=κ/(λG)
1700924070
1700924071
（5）
1700924072
1700924073
其中，
1700924074