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扭量理论当然给数学带来了重要进展。它使我们更深入理解了几个重要的物理学问题，包括杨-米尔斯理论的主要方程，那是粒子物理学标准模型的基础。扭量理论也让我们更好地认识了爱因斯坦广义相对论的某些解。这些认识充分表现在几个不同的发展，包括圈量子引力。
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但扭量理论尚未成为可行的量子引力方法——主要因为它没有办法包容广义相对论。但彭罗斯和几个同事仍然没有放弃。威藤领导的几个弦理论家最近也开始做那方面的工作，为扭量空间带来了一些新的方法，进展很快。这个方法似乎不能帮助扭量理论演进为引力的量子理论，但它正在变革规范理论的研究——如果需要什么证据，这正好说明我们不应该那么长久地忽略扭量理论。
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彭罗斯并不是唯一为自己创造量子引力方法的一流数学家。也许最伟大的——当然也是最有趣的——健在的数学家是阿兰·康尼斯（Alain Connes），他是马赛的一个警察的儿子，大半生都在巴黎。我喜欢和阿兰谈话。有时我不明白他说什么，但他深刻的思想和绝妙的笑话令我快乐无限。（那些笑话经常是少儿不宜的，尽管有时说的是黑洞或讨厌的卡丘流形。）有一次，他在一个会上讲量子宇宙学，要我们每次听到宇宙一词时都站起来，以表示尊敬，引得哄堂大笑。不过，虽然我不能总是理解阿兰，他却总能理解我。他属于那种思维敏捷的人，知道你想什么，当然也能更好地说出你想说的话。尽管他和他的思想都那么自在轻松，却一点儿也不爱争斗，对别人的思想总是怀着真诚的好奇。
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阿兰的量子引力方法要回到基础，发明一种能完美统一几何的数学结构与量子引力的新数学。这种数学我在第十四章提起过，叫非对易几何。“非对易”指量子理论的量由不能对易的对象来代表，即AB不等于BA。量子理论的这种非对易性密切关联着这样一个事实：不能同时测量一个粒子的位置和动量。当两个量不对易时，就不能同时知道它们的数值。现在，这似乎与几何的本质相矛盾，因为几何就是从曲面的直观图像出发的。而形成直观图像就意味着需要完整的定义和完全的知识。要把几何那样的东西建立在不能同时知道的事物基础上，其实是很重大的一步。它的诱人之处就在于它在使自身成为物理学下一步的恰当数学的同时，也以新的方式统一了几个不同的数学领域。
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非对易几何出现在几种不同的量子引力方法中，包括弦理论、DSR和圈量子引力。但这些理论没有一个深层把握了康尼斯原先的概念，他和几个数学家（多数是法国的）还在继续发展着。107它出现在其他纲领中的不同形式都是从概念的表面出发，例如将空间和时间的坐标变成不对易的量。康尼斯的思想要深刻得多；它在根本上统一了代数和几何。只有像他那样，既探索数学又创造性、战略性地思考数学知识结构及其未来的人，才可能创造那样的思想。
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和老的扭量理论家一样，康尼斯的追随者也是忠心耿耿的。宾州大学要举办一个关于不同量子引力方法的会议，阿兰举荐了一位年长的法国著名数学家，叫卡斯特勒（Daniel Kastler）。会前一个星期，这位先生骑车摔断了腿，但他爬出了医院，独自到了马赛机场，正好赶在开幕时到达会场，他宣称，“有一个真阿兰，我是他的信使。”看来，并不只是弦理论家才有真正的追随者，非对易几何学者也有，而且更幽默。
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非对易几何的一个成功是它直接引出了粒子物理学的标准模型。正如阿兰和他的同事们所发现的，当你将麦克斯韦电磁学写成最简单的非对易几何形式时，统一电磁力与弱核力的温伯格-萨拉姆模型将自然出现。换句话说，弱相互作用连同希格斯场都将自动而正确地显现出来。
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回想一下我们在第二章说的，判断一个统一是否成功，就看它是否能立刻表现与自然的一致。康尼斯的简单思想出现了正确的弱力与电磁力的统一，这是很诱人的结果。弦理论本该出现这样的东西，可惜没有。
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还有一套方法也是关注经典时空和粒子物理学如何从基本的离散结构产生出来。这些是凝聚态物理学家们创立的模型，如斯坦福大学的劳克林，赫尔辛基技术大学的沃洛维克和MIT的文小刚。最近，这些方法被年轻的量子引力学者们采纳了，如德雷尔。这些模型是粗糙的，但也的确说明狭义相对论的某些特征（如速度的普适上限）可以从一定的离散的量子系统突现出来。沃洛维克和德雷尔煽动性地宣扬说，宇宙学常数问题解决了——因为它本来就不是问题。他们声称那种说它有问题的想法是错误的，那是因为太看重背景相关理论的结果。他们指出，这种错误源自人们将理论的变量割裂开来，将其中的一些作为固定背景，而将另一些作为量子场。108如果他们的意见在这一点上是对的，那将是多年以来从量子引力产生的最重要的结果。
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我这里描述的所有方法都是背景独立的。有几个一开始就假定时空由离散元素构成。有一个做得更好，证明空间和时间的离散性是结合量子理论与狭义相对论的结果。这就是圈量子引力的成果。它的出发点是阿什特卡1986年对爱因斯坦广义相对论的革命性重构。我们发现，不需要添加任何东西，仅仅用一组新变量来改写爱因斯坦理论，就可以精确导出一个量子时空来。
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圈量子引力的基本思想其实很老了，我们在第七章已经讨论过。它源自直接以场线来描述场（如电磁场）的思想。（之所以叫“圈”，是因为在没有物质的情况下，场线可以自我闭合形成圈。）这是涅尔森、波里亚柯夫和威尔逊的观点，也正是这种思想引出了弦理论。弦理论基本上就是这种直观图景在固定时空背景下发展起来的。圈量子引力是同样的思想，然而是在完全背景独立的理论中发展的。
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这个思想成为可能，全赖阿什特卡的一个重大发现：广义相对论可以用规范场的语言来表述。这样，时空的度规成了电磁场一样的东西。当我们以量子力学方法处理对应的场线时，被迫不要背景，因为本来就没有——场线已经描述了空间的几何。一旦我们使它们成为量子力学的，就不会再留下经典的几何了。所以，为了摆脱背景度规，我们必须重新构建量子场论。长话短说，经过很多有着不同物理学和数学才能的人的努力，我们终于成功了。结果就是圈量子引力。
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新图景很简单。量子几何是一种特殊的图（图152）。一个量子时空就是一个事件序列，其中的图在结构中因局部改变而演化。这最好用例子来说明，如图15-3。
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这个理论带来了很多成功。它在以下三方面被证明是有限的：
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图15-2 自旋网络——圈量子引力及其相关理论中的量子几何状态。节点和边界分别联系着体积和面积的量子
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1.量子几何是有限的，从而面积和体积以离散单元形式出现。
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2.计算量子几何演化为不同历史的几率时，结果总是有限的（至少在所谓巴勒特-克雷恩（Barrett-Crane）模型的特定形式下是有限的）。
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3.当理论与物质理论（如粒子物理学标准模型）耦合时，通常出现的无限会成为有限。就是说，没有引力时，需需要强调的是，前面的陈述没有什么不确定性。圈量子引力的主要结果都经过了严格定理的证明。
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图15-3 自旋网络通过一系列这些局部改变而随时间演化
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要用一个特殊过程将无限的表达式独立出来，使其成为不可观察的；有引力时，根本就不存在无限的表达式。
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圈量子引力从一开始就面临的最大挑战是需要解释经典时空是如何突现出来的。最近几年，由于有了新的近似计算方法，这个问题取得了重大进展。这些新的过程证明理论具有描述宇宙的量子态，其几何在很好的近似下是经典的。去年，马赛理论物理中心的罗维利（Carlo Rovelli）和他的同事们迈出了重要的一步，他们第一次证明圈量子引力预言了两个物体会以牛顿定律所决定的方式相互吸引。109这些结果也表明理论在低能量近似下有引力子，因此圈量子引力的确是一个引力理论。
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人们如今正想着把圈量子引力用于现实世界的现象。它精确描述了黑洞视界，能得到正确的熵。这些结果与贝肯斯坦和霍金过去关于黑洞有熵和温度的预言（见第六章）是一致的。我写这些的时候，研究生和博士后们正在做的一个热点问题是修正霍金关于黑洞热力学的结果，假如能在未来的自然黑洞研究中观测到那些现象，那就能证实或证伪圈量子引力。
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