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图1-9 在x-y平面上的矢量由两个分量完全确定
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F 沿x ，y 和z 的分量可以写成Fx ，Fy 和Fz ；矢量的求和等价于将它们的分量求和，如另一矢量F ′的分量为 和 ，那么F +F ′具有分量 ， 以及 。
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上面是较简单的部分，现在要稍微难一些了。有一个两个矢量相乘得到一个标量 的方法——标量是一个在任何坐标系中都相等的一个量。（事实上，有一个从一个矢量得到标量的方法，我以后将会回到这个主题上来。）你看，如果坐标轴改变了，分量也随着改变——但矢量之间的夹角和它们的大小保持不变。设A 和B 是两个矢量，它们的夹角是θ 。我取A 的数值乘以B 的数值再乘以θ 的余弦，把这个数写成A ·B （“A 点乘B ”）（见图1-10）。这个数称为“点积”或“标积”，它在所有坐标系中都是相等的：
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图1-10 矢量的点积|A||B|cosθ在所有坐标系中都相等
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显而易见，因为|A |cosθ 是A 在B 上的投影，A ·B 等于A 在B 上的投影乘以B 的数值。同理，|B |cosθ 是B 在A 上的投影，A ·B 也就等于B 在A 上的投影乘以A 的数值。然而，我发现，A ·B= |A ||B |cosθ 是最容易记住点积是什么的方法；这样我总是能立即知道其他的关系。当然，真正的麻烦在于，你有这么多的方法来表示同一事物，但你用不着试图把它们全都记在心里——这一点我随后将说得更完全些。
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我们也可以用A 和B 在任意一组坐标轴上的分量来定义A ·B 。如果我们取三个相互垂直的坐标轴，x ，y ，z ，它们的方向任意。于是A ·B 就是：
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怎样从|A ||B |cosθ 变为AxBx +AyBy +AzBz ，这并不是一眼就可以看出来的。虽然，当我想要做的时候我可以证明它[3] ，这要花很多时间，所以我要记住这两个公式。
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当我求一个矢量和它自己 的点积的时候，θ 为0，0的余弦为1，所以A ·B =|A ||A |cos0=|A |2 ，用分量来表示，就是 。这个数字的正的平方根是矢量大小的数值。
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1-7 求矢量的微分
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现在我们可以来求所谓的矢量的微分了。当然，除非矢量依赖于时间，否则矢量对时间的微分就没有意义了。这意味着我们一定要想象某个矢量在不同的时刻是不同的：随着时间的推移，矢量不断变化，我们要求变化率。
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例如，矢量A （t ）可以是正在飞行的物体在时刻t 的位置。在下一个时刻t′ ，物体从A （t ）运动到A （t′ ）；我们要求A 在t 时刻的变化率。
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计算的法则如下：在时间间隔Δt =t′ -t 内，物体从A （t ）运动到A （t′ ），其位移为ΔA =A （t′ ）-A （t ），这是从原来的位置到新的位置的矢量差（参见图1-11）。
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图1-11 位置矢量A和它在时间间隔Δt中的位移ΔA
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显然，时间间隔Δt 越短，则A （t′ ）越靠近A （t ）。如果ΔA 除以Δt ，并且取二者都趋近于零的极限——这就是微商。在这种情况下，A 是位置，它对时间的微商是速度矢量；速度矢量是在曲线的切线方向，这就是位移变化的方向；你无法从图上看出它的大小，因为它决定于物体沿曲线运动有多快 。速度矢量的大小称为速率：它告诉你物体在单位时间内运动到多远的距离。下面是速度矢量的定义：它和路径相切，它的数值等于沿路径运动的速率（见图1-12）。
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